Sari la conținut

Identitate (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
(Redirecționat de la Funcția identitate)
Graficul funcției identitate pe numerele reale

În matematică funcția identitate, sau aplicația identitate, sau transformarea identică, este o funcție a cărei valoare este egală cu cea a argumentului. Adică, pentru ca f să fie funcția identitate, egalitatea trebuie să fie valabilă pentru orice X.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Formal, dacă M este o mulțime, funcția identitate f pe M este definită ca fiind funcția cu domeniul și codomeniul M care satisface

    pentru toate elementele X din M.[1]

În alte cuvinte, valorile funcției f(X) în M (codomeniul) sunt întotdeauna aceleași cu a elementului de intrare X din M (acum considerat domeniul de definiție). Funcția identitate pe M este evident o funcție injectivă, precum și o funcție surjectivă, ca urmare este o funcție bijectivă.[2]

Funcția identitate f pe M adesea este notată idM.

În teoria mulțimilor, unde o funcție este definită ca un anumit tip de relație binară, funcția identitate este dată de relația de identitate, sau diagonala lui M.[3]

Proprietăți algebrice[modificare | modificare sursă]

Dacă f : MN este o funcție oarecare, atunci exprimă o compunere a funcțiilor⁠(d). În particular, idM este elementul neutru al monoidului tuturor funcțiilor din M pe M.

Deoarece elementul neutru al monoidului este unic,[4] alternativ se poate defini funcția identitate pe M ca fiind acest element neutru. O astfel de definiție se generalizează în teoria categoriilor la conceptul unui morfism identitate, unde endomorfismul lui M nu este necesar să fie funcții.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Knapp, Anthony W. (), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9 
  2. ^ en Mapa, Sadhan Kumar (). Higher Algebra Abstract and Linear (ed. 11th). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1. 
  3. ^ en Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. . p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...then the diagonal set determined by M is the identity relation... 
  4. ^ en Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique 
  5. ^ en D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519. 
  6. ^ en Anton, Howard (), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (ed. 9th), Wiley International 
  7. ^ en T. S. Shores (). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9. 
  8. ^ en James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN: 1-85233-934-9
  9. ^ en Conover, Robert A. (). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6. 
  10. ^ en Conferences, University of Michigan Engineering Summer (). Foundations of Information Systems Engineering. we see that an identity element of a semigroup is idempotent.