Ilustrarea adunării a două matrici
În matematică adunarea matricilor este operația de a aduna două matrici prin adunarea elementelor corespunzătoare.
Pentru un vector ,
v
→
,
{\displaystyle {\vec {v}},}
adunarea a două matrici ar avea efectul geometric de a aplica fiecare transformare a matricei separat pe
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
, și apoi adunarea vectorilor transformați.
A
v
→
+
B
v
→
=
(
A
+
B
)
v
→
{\displaystyle \mathbf {A} {\vec {v}}+\mathbf {B} {\vec {v}}=(\mathbf {A} +\mathbf {B} ){\vec {v}}\!}
Totuși, există și alte operații care ar putea fi considerate adunări pentru matrici, cum ar fi suma directă și suma Kronecker .
Pentru a putea fi adunate, două matrici trebuie să aibă același număr de linii și coloane.[1] În acest caz, suma a două matrici A și B va fi o matrice care are același număr de linii și coloane ca și A și B . Suma lui A și B , notată A + B , se calculează prin adunarea elementelor corespunzătoare din A și B :
A
+
B
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
+
[
b
11
b
12
⋯
b
1
n
b
21
b
22
⋯
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
m
1
b
m
2
⋯
b
m
n
]
=
[
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
⋯
a
1
n
+
b
1
n
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
⋯
a
2
n
+
b
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
+
b
m
1
a
m
2
+
b
m
2
⋯
a
m
n
+
b
m
n
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}\,\!}
Sau, mai concis (presupunând că A + B = C ):[2] [3]
c
i
j
=
a
i
j
+
b
i
j
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}
De exemplu:
[
1
3
1
0
1
2
]
+
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
+
0
3
+
0
1
+
7
0
+
5
1
+
2
2
+
1
]
=
[
1
3
8
5
3
3
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}
Similar, este posibilă și scăderea unei matrice din alta, atâta timp cât au aceleași dimensiuni. Diferența dintre A și B , notată A − B , se calculează prin scăderea elementelor lui B din elementele corespunzătoare ale lui A și are aceleași dimensiuni ca și A și B . De exemplu:
[
1
3
1
0
1
2
]
−
[
0
0
7
5
2
1
]
=
[
1
−
0
3
−
0
1
−
7
0
−
5
1
−
2
2
−
1
]
=
[
1
3
−
6
−
5
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{bmatrix}}}
Asociativitate .
Adunarea este asociativă , adică:
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
,
∀
A
,
B
,
C
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C),\;\forall A,B,C\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Comutativitate .
Adunarea este comutativă , adică:
A
+
B
=
B
+
A
,
∀
A
,
B
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A+B=B+A,\;\forall A,B\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Element neutru .
Adunarea admite matricea nulă ca element neutru , adică:
∃
O
m
,
n
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle \exists O_{m,n}\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}
astfel încât
A
+
O
m
,
n
=
A
∀
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
.
{\displaystyle A+O_{m,n}=A\;\forall A\in M_{m,n}(\mathbb {C} ).}
Element opus .
Orice matrice
A
∈
M
m
,
n
(
C
)
{\displaystyle A\in M_{m,n}(\mathbb {C} )\!}
are un opus, notat
−
A
,
{\displaystyle -A,}
astfel încât:
A
+
(
−
A
)
=
O
m
,
n
.
{\displaystyle A+(-A)=O_{m,n}.}
O altă operație, care este folosită mai rar, este suma directă (notată cu ⊕). Suma Kronecker se notează și ea cu ⊕; contextul ar trebui să clarifice despre ce este vorba. Suma directă a oricărei perechi de matrici A cu dimensiunea m × n și B cu dimensiunea p × q este o matrice de dimensiune (m + p ) × (n + q ), definită drept:
A
⊕
B
=
[
A
0
0
B
]
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {B} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}}
De exemplu,
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}
Suma directă a matricilor este un tip particular de matrice de blocuri . În particular, suma directă a matricelor pătrate este o matrice de blocuri diagonală .
Matricea de adiacență a reuniunii de grafuri (sau multigrafuri ) disjuncte este suma directă a matricilor de adiacență ale acestora. Orice element din suma directă (d ) a două spații vectoriale de matrici poate fi reprezentat ca o sumă directă a două matrici.
În general, suma directă a n matrici este:[4]
⨁
i
=
1
n
A
i
=
diag
(
A
1
,
A
2
,
A
3
,
…
,
A
n
)
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
{\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\mathbf {A} _{3},\ldots ,\mathbf {A} _{n})={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {0}}&\mathbf {A} _{2}&\cdots &{\boldsymbol {0}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\boldsymbol {0}}&{\boldsymbol {0}}&\cdots &\mathbf {A} _{n}\\\end{bmatrix}}}
unde zerourile sunt de fapt blocuri de zerouri (adică matrici nule ).
Suma Kronecker este diferită de suma directă, dar se notează și ea cu ⊕. Acesta este definită folosind produsul Kronecker ⊗ și adunarea normală a matricilor. Dacă A este o matrice n × n , B este o matrice m × m și
I
k
{\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
este matricea unitate k × k , atunci suma Kronecker este definită prin:
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
en Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc.
en Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J.