Aplicație multiliniară alternată

În algebra liniară o aplicație multiliniară alternată este o aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu vectorial (de exemplu, o formă biliniară sau o formă multiliniară^⁠(d)) care ia valoarea zero ori de câte ori în vreo pereche de argumente acestea sunt egale. În general spațiul vectorial poate fi un modul^⁠(d) peste un inel comutativ.

Noțiunea de alternare este folosită pentru a obține o aplicație multiliniară alternată din orice aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu.

Definiție

Fie $R$ un inel comutativ și $V,W$ module peste $R$ . Despre o aplicație multiliniară de forma $f\colon V^{n}\to W$ se spune că este alternată dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente:

ori de câte ori $1\leq i\leq n-1$ astfel încât $x_{i}=x_{i+1},$ există $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ ^[1]^[2]
ori de câte ori $1\leq i\neq j\leq n$ astfel încât $x_{i}=x_{j},$ există $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ ^[1]^[3]

Spații vectoriale

Fie $V,W$ spații vectoriale peste același corp. Atunci o aplicație multiliniară de forma $f\colon V^{n}\to W$ este una alternată dacă îndeplinește următoarea condiție:

dacă $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sunt dependente liniar^⁠(d) atunci $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ .

Exemple

Într-o algebră Lie^⁠(d), parantezele Lie indică o aplicație biliniară alternată. Determinantul unei matrice este o aplicație alternată multiliniară a liniilor sau coloanelor matricei.

Proprietăți

Dacă orice componentă $x_{i}$ a unei aplicații multiliniare alternate este înlocuită cu $x_{i}+cx_{j}$ pentru orice $j\neq i$ și $c$ în baza inelului $R,$ atunci valoarea acelei aplicații nu se schimbă.^[3]

Orice aplicație multiliniară alternată este antisimetrică,^[4] ceea ce înseamnă că^[1]

f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,

sau echivalent,

f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in S_{n},

unde $S_{n}$ este grupul de permutări^⁠(d) de ordinul $n$ iar $\operatorname {sgn} \sigma$ este semnul lui $\sigma .$ ^[5]

Dacă $n!$ este o unitate^⁠(d)în inelul bazei, $R,$ atunci orice formă $n$ -multiliniară antisimetrică este una alternată.

Alternare

Fiind dată o aplicație multiliniară de forma $f:V^{n}\to W,$ despre aplicația multiliniară alternată $g:V^{n}\to W$ definită de

g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})

se spune că este alternarea lui $f.$

Proprietăți

Alternarea unei aplicații alternate $n$ -multiliniare este de $n$ ! ori pe sine însăși.
Alternarea unei aplicații simetrice este zero.
Alternarea unei aplicații biliniare este biliniară.

Note

^ ^a ^b ^c Lang 2002, pp. 511–512. .
^ Bourbaki, 2007, A III.80, §4
^ ^a ^b Dummit, Foote, 2004, p. 436
^ Rotman, 1995, p. 235
^ en Tu (2011). An Introduction to Manifolds. Springer-Verlag New York. p. 23. ISBN 978-1-4419-7400-6.

Bibliografie

fr Bourbaki, N. (2007). Eléments de mathématique. Algèbre Chapitres 1 à 3 (ed. reprint). Springer.
en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (ed. 3rd). Wiley.
en Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (ed. revised 3rd). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC 48176673.
en Rotman, Joseph J. (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 148 (ed. 4th). Springer. ISBN 0-387-94285-8. OCLC 30028913.

Vezi și

Portal Matematică

[Lang-2002-1] Lang 2002, pp. 511–512. .

[2] Bourbaki, 2007, A III.80, §4

[Dummit-Foote-2004-3] Dummit, Foote, 2004, p. 436

[4] Rotman, 1995, p. 235

[5] Tu (2011). An Introduction to Manifolds. Springer-Verlag New York. p. 23. ISBN 978-1-4419-7400-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]