În fizică și matematică, armonicele solide sunt soluții ale ecuației lui Laplace în coordonate sferice. Există două feluri de armonice solide:
- armonice solide regulate
, care tind către zero în origine
- armonice solide neregulate, care sunt singulare în origine.
Ambele seturi de funcții joacă un rol esențial în teoria potențialului, obținute prin rescalarea corespunzătoare a armonicelor sferice.
![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb52bfa6f0d7bc28a73f7c4365914cdc793073e3)
Introducând r, θ și φ pentru coordonatele sferice ale unui vector tridimensional r, putem scrie ecuația lui Laplace sub forma următoare:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51efd65822c7d292fa17a3f7e8eee2f2a298115d)
în care L2 este pătratul operatorului momentului unghiular:
![{\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar \,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4afec27ab6c95e26a51e3ee076ad6fa649ceb9)
Se cunoaște că armonicele sferice Yml sunt funcții proprii ale lui L2:
![{\displaystyle L^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b493bd240c72ab1a5f205eb1b83bce5b1f853a03)
Substituind Φ(r) = F(r) Yml în ecuația lui Laplace, obținem următoarea ecuație radială și soluția ei generală:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a8bb48b7f669a5dc4e97d27c88d4eb86f74d9d)
Soluțiile particulare ale ecuației Laplace sunt armonice solide regulate:
![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16490a342dc3fad7248d537b3dc9b6f1035d014)
și armonice solide neregulate:
![{\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10df3b7517c43aba222a0bf00de09034058235c1)
Normalizarea lui Racah (cunoscută și ca seminormalizarea lui Schmidt) se aplică ambelor funcții:
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4514f800a073062faf1a16465f5e81e65180752e)
(și analog pentru armonicele solide neregulate). Se preferă această normalizare Racah deoarece în multe aplicații factorul normalizării apare neschimbat în toate derivările.
Translația armonicelor solide regulate conduce la o dezvoltare finită:
![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16979a02e678a44e14f3934d129c48f1ba098b40)
în care coeficientul Clebsch-Gordan este dat de:
![{\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693e779ec952931ed24119290c18f0b7e8f73592)
Dezvoltarea similară pentru armonicele solide neregulate conduce la o serie infinită:
![{\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3aa7336df8efb11899930ac888b757416462b6)
cu
. Cantitatea dintre paranteze este tot coeficientul Clebsch-Gordan:
![{\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0180a0a804b83de80a57f90f9eeeeca715c445d)
Teorema de sumare a fost demonstrată în multe feluri de diverși autori. Vezi cele două exemple diferite de demonstrare:
- R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
- M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)
Printr-o simplă combinație liniară de armonice solide de ±m aceste funcții sunt transformate în funcții reale. Armonicele solide regulate reale, exprimate în coordonate carteziene, sunt polinoame omogene de ordinul l în x, y și z. Forma explicită a acestor polinoame are o anumită importanță. De exemplu, ele apar sub forma orbitei atomice sferice și a momentelor multipolare reale. Expresii carteziene explicite vor fi date pentru armonicele regulate reale.
Scriem în acord cu definiția de mai sus:
![{\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2a4f9928bb78fc80bc071a79e2c598b329071f)
cu
![{\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13388066c5fd3eea6d64399921f8fda0c4b603b4)
în care
este un polinom Legendre de ordin l. Faza dependentă m este cunoscută drept faza Condon–Shortley
Următoarea expresie definește armonicele solide regulate reale:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55d3dedb846173c8de50a72f4c7667d7c63dae5)
iar pentru m = 0:
![{\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5337a9044c5d63cd86d12a445d34e60f0e5b1a)
Deoarece transformarea se face prin intermediul matricii unitate, normalizarea armonicelor solide reale sau complexe este aceeași.
Dacă scriem u = cos θ, derivata m a polinoamelor Legendre poate fi scrisă prin următoare dezvoltare în u:
![{\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fac2caa8df85f3792a5e0165cdbea9d1fbf9a0a)
cu
![{\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3026d59edb33377b33f909e4d5285def92fa26ea)
Deoarece z = r cosθ urmează că, acestă derivată înmulțită cu o putere corespunzătoare a lui r, este un simplu polinom în z:
![{\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6089bd4800b6b036d7db17ac088fa036be337810)
Scriind x = r sinθcosφ și y = r sinθsinφ:
![{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaaeda8183a142fac2257aca77d4eeddfdedd8e)
De asemenea:
![{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f6deaf3e35306497076b645b60a580e9e531b)
Mai mult:
![{\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc083cb2e489bdc560a70776052a57de4b44c6b9)
și
![{\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5954bd84c06567915c93f57796b8783a8a2b3804)
![{\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e218d6cd24b3a1d1eae0acc9e4b8c013bc415114)
![{\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a401afd431809324850ed99499130be4c406cf4)
Sunt listate cele mai scăzute funcții până la l = 5 inclusiv.
Aici
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14316d6d80e6af39111c549bb9c6dcc1066bbfaf)
Cele mai scăzute funcții
și
sunt:
m
|
Am
|
Bm
|
0
|
|
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
De exemplu, partea unghiulară a celei de a noua sferică normalizată g a orbitei atomice este:
![{\displaystyle C_{4}^{2}(x,y,z)={\sqrt {\frac {9}{4\pi }}}{\sqrt {\frac {5}{16}}}(7z^{2}-r^{2})(x^{2}-y^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcfad3101d7f511f1f324b16027fe1f9b8646ab)
Una din cele 7 componente ale multipolului real de ordinul 3(octupol) ale unui sistem de N sarcini qi este:
![{\displaystyle S_{3}^{1}(x,y,z)={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}(5z_{i}^{2}-r_{i}^{2})y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1517fa4534372c5cc0e179f2391070556e986d)
Următoarele formule exprimă armonicele sferice normalizate în coordonate carteziene (faza Condon-Shortley):
![{\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}(-1)^{m}(A_{m}+iB_{m})/{\sqrt {2}}\\\qquad (A_{m}-iB_{m})/{\sqrt {2}}\\\end{pmatrix}},\qquad m>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9cdf32e4ae4e59ce9653d4dd934831c01061a5)
iar pentru m = 0:
![{\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e697088bc43edd83e56660eff11b7a03522d023f)
Aici
![{\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos((m-p){\frac {\pi }{2}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c7ceb361513ddc5a62247f86fa89e7b2263705)
![{\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin((m-p){\frac {\pi }{2}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8a1cb955d00517514c8c266e178cae605dc3e5)
iar pentru m > 0:
![{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4c8fef579a7f234ae71d6ed82da1013e72c592)
Pentru m = 0:
![{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952f550dd82ea9070a5ca277cf6a99a51439c727)
Folosind expresiile de mai sus pentru
,
și
obținem:
![{\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5z^{2}-r^{2})(x+iy)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}(5\cos ^{2}\theta -1)(\sin \theta e^{i\varphi })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d49b3ca8386b6f07b7d47331b56ad897c6db505)
![{\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7z^{2}-r^{2})(x-iy)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}(7\cos ^{2}\theta -1)(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7bb89babcad7b22cc51b3b633ae7214a6b9d2b)
Se poate verifica că aceste corespund cu funcțiile listate în tabelul armonicelor sferice.