Caracteristică (algebră)

În teoria algebrică a inelelor și a corpurilor, caracteristica este un număr caracteristic unui inel sau corp care arată de câte ori trebuie adunat elementul neutru multiplicativ pentru a se obține elementul neutru aditiv. Dacă acest lucru nu este posibil, se va considera că această caracteristică are valoarea zero.

Caracteristica unui inel

Se consideră un inel unitar nenul notat  $A(+,\cdot )$ . Dacă elementul 1 are ordinul infinit în grupul  $A(+,\cdot )$  se spune că A este un inel de caracteristică 0 și se scrie  $\mathbf {car} \;(A)=0.$  Deci:

 $\mathbf {car} \;(A)=0\;\Leftrightarrow \;n\cdot 1\neq 0,\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}.$ 

Dacă ordinul lui 1 în grupul  $(A,+)$  este p, se spune că inelul A are caracteristică p și se scrie  $\mathbf {car} \;(A)=p.$  Acest lucru revine la a spune că p este cel mai mic număr natural nenul cu proprietatea că  $p\cdot 1=0.$ 

De exemplu, inelul întregilor este un inel de caracteristică 0, pe când  $\mathbb {Z} _{3}$  este inel de caracteristică 3.

Observație. Dacă inelul  $A(+,\cdot )$  este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.

Într-adevăr, dacă p nu ar fi prim, atunci de poate scrie  $p=p_{1}\cdot p_{2}$  cu  $p_{1},p_{2}$  numere naturale mai mici decât p și diferite de 1 și p. Cum  $p\cdot 1=0$  iar  $(p_{1}\cdot p_{2})\cdot 1=(p_{1}\cdot 1)\cdot (p_{2}\cdot 1)$  obținem că  $(p_{1}\cdot 1)\cdot (p_{2}\cdot 1)=0$  și cum A este domeniu de integritate, se deduce că  $p_{1}\cdot 1=0$  sau  $p_{2}\cdot 1=0,$  contradicând minimalitatea lui p cu proprietatea că  $p\cdot 1=0.$

Caracteristica unui corp

Caracteristica unui corp $\mathbb {K} \!$ este zero dacă acest corp conține un corp izomorf cu corpul $\mathbb {Q} \!$ al numerelor raționale, iar în caz contrar este numărul prim] p, pentru care:

${\underset {de\;p\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }}=0,\!$

unde e este elementul neutru pentru operația de înmulțire din $\mathbb {K} .\!$

Caracteristica unui corp $\mathbb {K} \!$ se determină astfel: se consideră omomorfismul de inele $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {K} ,\!$ definit prin:

$f(1)=e\!$ deci $f(-1)=-e\!$ și

$f(n)={\begin{cases}{\underset {de\;n\;ori}{\underbrace {e+e+\cdots +e} }},&pentru\;n>0\\{\underset {de\;-n\;ori}{\underbrace {-e-e-\cdots -e} }},&pentru\;n<0\end{cases}}\!$

și nucleul său, care fiind un subgrup în $\mathbb {Z} ,\!$ are forma $p\mathbb {Z} ,\!$ cu p întreg pozitiv. Dacă $p=0,\!$ atunci $\mathbb {Q} \subset \mathbb {K} ,\!$ deci $\mathbb {K} \!$ are caracteristica zero. Dacă $p\neq 0,\!$ atunci p este un număr prim și caracteristica lui $\mathbb {K} \!$ este p.