Centru cercului înscris într-un triunghi
În geometria triunghiului, centrul cercului înscris într-un triunghi este un punct important al triunghiului.
Se află la intersecția bisectoarelor acestuia.
Existența acestuia este remarcată încă din antichitate.
Vectorul poziție al centrului I al cercului înscris în triunghiul ABC este dat de:
![{\displaystyle {\overrightarrow {PI}}={\frac {1}{a+b+c}}\cdot (a\cdot {\overrightarrow {PA}}+b\cdot {\overrightarrow {PB}}+c\cdot {\overrightarrow {PC}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f132ea657f9c122c124957e0f28aededdfc60)
unde
sunt lungimile laturilor triunghiului.
Demonstrație.
Se notează
picioarele bisectoarelor din vârfurile
Conform teoremei bisectoarei:
![{\displaystyle {\frac {A'B}{A'C}}={\frac {c}{b}},\;{\frac {B'C}{B'A}}={\frac {a}{c}},\;{\frac {C'A}{C'B}}={\frac {b}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5d5b27bbaa13cb92daf8c7107bc758cc048e67)
Rezultă că punctul
împarte segmentul
în raportul
deci:
adică
Din
rezultă
Dar
deci
este bisectoare în triunghiul
deci aplicând teorema bisectoarei:
![{\displaystyle {\frac {IA}{IA'}}={\frac {BA}{BA'}}=c\cdot {\frac {b+c}{ac}}={\frac {b+c}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1343ba150d7bbec3cf6229e395808c176ae2057)
Rezultă că punctul I împarte segmentul
în raportul
deci
| | |
Cum
rezultă că
împarte segmentul
în raportul
deci:
![{\displaystyle {\overrightarrow {PA'}}={\frac {1}{1-\left(-{\frac {c}{b}}\right)}}\cdot \left({\overrightarrow {PB}}-\left(-{\frac {c}{b}}\right)\cdot {\overrightarrow {PC}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff64785621e28fb955b2b640e1ce50c9bcf17387)
adică:
| | |
Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.
Coordonatele carteziene ale acestui punct sunt:
![{\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{a+b+c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17c80f39c6227376d379aea9a330a098d53d249)
unde
,
și
sunt coordonatele vârfului triunghiului.