De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.
Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.
Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.
![{\displaystyle H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }diam(A_{i})^{s}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5cd97bda6f893aeb7f15ab2b523a00bee3d3da)
![{\displaystyle H^{s}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{s}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/418133d88359f435cd6f477173e3149489cd1763)
![{\displaystyle \dim _{H}(E)=\inf \left\{s,H^{s}(E)=0\right\}=\sup \left\{s,H^{s}(E)=\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6724a630dff4999ec1359863df69ec318060e648)
Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul
:
- Pentru
![{\displaystyle s>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b11ccf4fea238663a592d7e5ae55a8d35d79d6f)
- Pentru
, fie numărul natural
astfel ales încât
.
- Cu acoperirea specială
pentru
pentru
.
- Urmează
.
- Pentru
![{\displaystyle s<1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57919a33c448816448cb28f87508fe332040b2cc)
- Deoarece
, avem:
.
- Cum însă
intervalul
acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
![{\displaystyle \geq {\frac {1}{\varepsilon ^{1-s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b34c845c116769f3d5b758edd156e5251bb1aa)
- Rezultă:
.
- Deci:
.
- Pentru
:
- Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
.
- Așadar:
.
- Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
- Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este
.
- Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este
.
- Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
- Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.
|
---|
Spații dimensionale | | |
---|
Alte dimensiuni | |
---|
Politopuri și forme | |
---|
Dimensiuni după număr | |
---|
Vezi și | |
---|
|