Distribuția binomială

În teoria probabilităților și statistică distribuția binomială este o distribuție de probabilitate discretă reprezentând numărul de succese intr-o secvență de n încercări Bernoulli (experimente da/nu) cu probabilitate de succes p.

Exemple

La aruncarea unui zar de 10 ori, numărul de apariții a feței cu numărul 6, urmează o distribuție binomială.

Daca bruneții reprezintă 40% din populația unei tări, numărul de persoane brunete intr-un grup aleator de 100 de persoane are o distribuție binomială

Presupunem că la aruncare unei monede părtinitoare iese cap cu probabilitate de 0.3. Care este probabilitate de a obține de 0, 1, 2, ..., 6 ori cap din șase aruncări?

$Pr(0\ cap)=f(0)=Pr(X=0)={\binom {6}{0}}0.3^{0}(1-0.3)^{6-0}=0.117649$

$Pr(1\ cap)=f(1)=Pr(X=1)={\binom {6}{1}}0.3^{1}(1-0.3)^{6-1}=0.302526$

$Pr(2\ cap)=f(2)=Pr(X=2)={\binom {6}{2}}0.3^{2}(1-0.3)^{6-2}=0.324135$

$Pr(3\ cap)=f(3)=Pr(X=3)={\binom {6}{3}}0.3^{3}(1-0.3)^{6-3}=0.18522$

$Pr(4\ cap)=f(4)=Pr(X=4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535$

$Pr(5\ cap)=f(5)=Pr(X=5)={\binom {6}{5}}0.3^{5}(1-0.3)^{6-5}=0.010206$

$Pr(6\ cap)=f(6)=Pr(X=6)={\binom {6}{6}}0.3^{6}(1-0.3)^{6-6}=0.000729$

Caracteristici

Funcția de distribuție

Daca variabila X urmează o distribuție binomială cu parametri n si p, X ~ B(n, p), probabilitatea obținerii a k succese in n incercări este dată de funcția de distributie:

\Pr(K=k)=f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}

pentru k = 0, 1, 2, ..., n unde : ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ este coeficientul binomial, de unde vine și numele distribuției. Interpretarea formulei este următoarea: k succese apar cu probabilitate p^k și n − k insuccese apar cu probabilitatea (1 − p)^n − k . Cele k succese pot apărea oriunde printre cele n încercări, existând astfel ${\binom {n}{k}}$ moduri diferite de a distribui cele k succese într-o serie de n încercări.