Divizibilitate

În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

Exemple

În inelul numerelor întregi $R=\mathbb {Z}$ fie elementele $a,b$.

• $a=4$ este un divizor al lui $b=12$, deoarece la $12/4=3$ cu restul $0$ sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există $x=3\in R$ astfel încât $ax=b$.
• $a=4$ nu este un divizor al lui $b=13$, deoarece la $13/4=3$ cu restul $1$ nu există nici un $x\in R$ astfel încât $ax=b$.

În corpul numerelor reale $S=\mathbb {R}$, o extindere a numerelor întregi, avem

• $a=4$ încă este un divizor al lui $b=12$, deoarece la $12/4=3$ există $x=3\in S$ astfel încât $ax=b$.
• $a=4$ devine un divizor al lui $b=13$, deoarece la $13/4=3,25$, acesta este acum un număr real în $S$ respectiv există $x=3,25\in S$ astfel încât $ax=b$.

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi $R'=\mathbb {Z} [X]$ avem

• $a=X+1$ este un divizor al lui $b=X^{2}-1$, deoarece prin împărțirea polinomială $(X^{2}-1)/(X+1)=X-1$ cu restul $0$ există $x=X-1\in R'$ astfel încât $ax=b$.
• $a=X+3$ nu este un divizor al lui $b=X^{2}-3$, deoarece la $(X^{2}-3)/(X+3)=X-3$ cu restul $6$ nu există nici un $x\in R'$ astfel încât $ax=b$. De fapt, se poate arăta că $b=X^{2}-3$ nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea $b$ nu are divizori liniari, cum ar fi $a=X+3$.

În inelul de polinoame cu coeficienți reali $S'=\mathbb {R} [X]$, o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

• $a=X+1$ încă este un divizor al lui $b=X^{2}-1$, deoarece la $(X^{2}-1)/(X+1)=X-1$ există $x=X-1\in S'$ astfel încât $ax=b$.
• $b=X^{2}-3$ are divizori netriviali, explicit ${\tilde {a}}=X+{\sqrt {3}}$, deoarece la $(X^{2}-3)/(X+{\sqrt {3}})=X-{\sqrt {3}}$ există ${\tilde {x}}=X-{\sqrt {3}}\in S'$ astfel încât ${\tilde {a}}{\tilde {x}}=b$. De observat că $a=X+3$ tot nu este un divizor al lui $b=X^{2}-3$, din același motiv ca la $R'=\mathbb {Z} [X]$ de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele $a$ și $b$ în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin $a,b$ și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Definiție

Fie R un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și a și b elemente ale lui R . Dacă există un element x în R cu ax = b, se spune că a este un divizor la stânga al lui b, iar acel b este un multiplu la dreapta al lui a. Similar, dacă există un element y în R cu ya = b, se spune că a este un divizor la dreapta al lui b, iar acel b este un multiplu la stânga lui a. Se spune că a este un divizor al lui b dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui b; variabilele x și y de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când R este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că a este un „divizor” al lui b, sau că acel b este un multiplu al lui a, și se scrie $a\mid b$. Elementele a și b ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât $a\mid b$ cât și $b\mid a$. Relația de asociere este o relație de echivalență pe R, deci împarte R în clase de echivalență^⁠(d) disjuncte.

Proprietăți

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ R pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

• $a\mid b$ dacă și numai dacă $(b)\subseteq (a)$.
• Elementele a și b sunt asociate dacă și numai dacă $(a)=(b)$.
• Un element u este o unitate^⁠(d) dacă și numai dacă u este un divizor al fiecărui element din R.
• Un element u este o unitate dacă și numai dacă $(u)=R$.
• Dacă $a=bu$ pentru o unitate u, atunci a și b sunt asociate. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
• Fie R un domeniu de integritate. Dacă elementele din R sunt total ordonate după divizibilitate, atunci R se numește inel de valuare^⁠(d).

Mai sus $(a)$ este idealul principal al $R$ generat de elementul $a$.

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero

• Unii autori cer ca definiția divizorului a să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
• Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice a este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua x = 0. Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element a dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un x nenul astfel încât ax = 0.

Bibliografie

• en Bourbaki, N. (1989) [1970], Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, ISBN 9783540642435 

Vezi și

• Divizor al lui zero