Ideal minimal
În matematică, mai exact în teoria inelelor(d), un ideal minimal[1] al unui inel R este un ideal bilateral nenul care nu conține niciun alt ideal bilateral nenul. De asemenea, un ideal minimal stâng este un ideal stâng nenul al lui R care nu conține alte ideale stângi nenule ale lui R, iar un ideal minimal drept al lui R este un ideal nenul care nu conține alte ideale drepte nenule ale lui R.[2]
Definiție
[modificare | modificare sursă]Definiția unui ideal minimal drept N al unui inel R este echivalentă cu următoarele condiții:
- N este nenul și dacă K este un ideal drept al lui R cu {0} ⊆ K ⊆ N, atunci fie K = {0}, fie K = N.
- N este un R-modul simplu drept.
Idealele minimale drepte/stângi/bilaterale sunt noțiunea duală a idealelor maximale.
Proprietăți
[modificare | modificare sursă]Multe proprietăți ale idealelor minimale pot fi găsite în texte standard, cum ar fi:[3][4][5][6]
- Într-un inel cu unitate există întotdeauna ideale maximale drepte. Prin contrast, într-un inel cu unitate nu trebuie să existe ideale minimale drepte, stângi sau bilaterale.
- Soclul unui inel este o structură importantă definită în termenii idealelor drepte minimale ale lui R.
- Inelele pentru care fiecare ideal drept conține un ideal drept minimal sunt chiar inelele cu un soclu drept esențial.
- Orice inel artinian drept sau inel Kasch drept are un ideal minimal drept.
- Domeniile care nu sunt corpuri nu au ideale minimale drepte.
- În inelele cu unitate, idealele drepte minimale sunt în mod necesar ideale principale drepte, deoarece pentru orice x nenul dintr-un ideal minimal drept N, mulțimea xR este un ideal drept nenul al lui R în interiorul lui N, deci xR = N.
- Lema lui Brauer: Orice ideal minimal drept N dintr-un inel R satisface N2 = {0} sau N = eR pentru un element idempotent(d) e din R.[7]
- Dacă N1 și N2 sunt ideale minimale drepte neizomorfe ale lui R, atunci produsul N1N2 = {0}.
- Dacă N1 și N2 sunt idealuri minimale distincte ale unui inel R, atunci N1N2 = {0}.
- Un inel simplu cu un ideal minimal drept este un inel semisimplu.
- Într-un inel semiprim există un ideal minimal drept dacă și numai dacă există un ideal minimal stâng.[8]
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs, p. 39), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02
- ^ Isaacs, 2009, p. 190
- ^ Anderson, Fuller, 1992
- ^ Isaacs, 2009
- ^ Lam, 1999
- ^ Lam, 2001
- ^ Lam, 2001, p. 162
- ^ Lam, 2001, p. 174
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- en Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (ed. 2), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
- en Isaacs, I. Martin () [1994], Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
- en Lam, Tsit-Yuen (), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- en Lam, T. Y. (), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (ed. 2), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
