Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț

Într-un triunghi ABC, suma lungimilor laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie

Într-un plan euclidian, în orice triunghi ABC lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

AB\leqslant AC+CB

Două proprietăți completează această inegalitate:

$|AC-CB|\leqslant AB$
$AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]$

Numere complexe

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

x={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {AC}}

y={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {CB}}

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$ , avem :

${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leqslant |x+y|\leqslant |x|+|y|$
$|x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}-\{(0,0)\},\ \lambda x=\mu y$