Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.
Dacă funcțiile
sunt derivabile și au derivate continue pe
atunci are loc egalitatea:
![{\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462ccfab46c77eac66037e6d4622dc09e8d4ba0d)
unde simbolul
reprezintă mulțimea primitivelor funcției
iar
reprezintă mulțimea primitivelor funcției
Demonstrație.
Funcția
are derivată continuă pe
și
![{\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573bc70bcbe3c4efdd6ce1d299001bea31d1e5a2)
Fie acum
și diferența
Prin derivare se obține egalitatea:
![{\displaystyle \psi '=\varphi '-f'g-fg'=-f'g\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81c19f3e4a6f781dfdbe0054f92358bb332dcfc)
care arată că
Astfel am obținut că funcția
și
Altfel spus,
Analog se arată că oricare ar fi
funcția
Consecință.
Dacă funcțiile
au derivate continue pe
atunci are loc egalitatea:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807246216b6b6f944f44baf486ab1d0cb028d3a8)
Să se calculeze
Mai întâi alegem funcțiile f și g:
![{\displaystyle f(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06)
![{\displaystyle g(x)=\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92adce22bfc73faf41f59c92f7492244a749ef8f)
Calculăm derivata lui f:
Integrăm pe g:
Deci
Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată.
De exemplu, fie:
![{\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}xdx.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaa3cff691df7c38d2c246ae0206ed917fdb1af)
Integrând prin părți rezultă:
![{\displaystyle I_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff61afc250197fe742f305f4d884103954445119)
De aici avem:
![{\displaystyle nI_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a3cd6a8ffcca00aee634f94de4c04641d5cf9d)
Această formulă împreună cu egalitățile
și
conduc la evaluarea primitivei
pentru