În calculul diferențial și calculul integral un concept important este cel de limită a unei funcții.
Conceptul de limită a unei funcții într-un punct este folosit în studiul continuității, derivatei, integralei și alte studii.
Considerând o funcție
se analizează comportamentul lui
atunci când x se apropie de o valoare reală fixată xo.
Pentru aceasta se presupune că f(x) este definită pentru orice x care se apropie de xo.
Cu alte cuvinte, se presupune că domeniul de definiție A conține o mulțime de forma
unde
Definiție („definiția cu ε (epsilon) și δ (delta)”):
Funcția f are limita l în punctul xo dacă pentru orice
există un număr
astfel ca
și
Faptul că funcția f are limita l în punctul xo se notează:
sau ![{\displaystyle f(x){\underset {x\to x_{0}}{\rightarrow }}l.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2f7645f31c51a2b7e0cd960f1a73b5904dc8ba)
Definiție („definiția cu șiruri”):
Se spune că funcția f are limita l (finită sau infinită) în punctul
dacă pentru orice șir
convergent către
șirul valorilor funcției
este convergent către l.
Pentru cazul când unul sau amândouă numerele xo și l nu sunt finite, există următoarele definiții:
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
înseamnă: pentru orice
există un
astfel încât oricare ar fi
cu proprietatea
să avem
Definiție:
Se spune că funcția
are în punctul
(punct de acumulare al mulțimii E) limita la stânga
, dacă pentru orice vecinătate U a lui
există o vecinătate V a lui
, astfel încât, oricare ar fi
să avem
Se notează:
![{\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x<x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}-0)=l_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75422705a8fb0a2e7f43eb1ea74d269c57a0dd1)
În mod similar se definește limita la dreapta și se notează:
![{\displaystyle \lim _{\begin{matrix}x\to x_{0}\\x>x_{0}\end{matrix}}f(x)=f(x_{0}+0)=l_{d}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4602b451b32462d5397dba7972b8b33ed5093fa7)
Teorema 1.
Fie
o funcție și
un punct de acumulare al lui E.
Dacă
atunci
Teorema 2.
(Criteriul majorării)
Dacă f și g sunt definite pe E, dacă
și dacă există un număr finit l și o vecinătate V a lui
, astfel încât să fie valabilă inegalitatea
pentru orice
atunci
Fie funcțiile
și funcția compusă:
![{\displaystyle f\circ u:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ u)(x)=f(u(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8b8ae78434b71dffd3b48dc2b47ff283bdcd17)
pentru
Fie
un punct de acumulare al lui E și
un punct de acumulare al lui F.
Teoremă.
Dacă
și dacă
atunci funcția compusă
are limită în
și
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(u(x))=\lim _{u\to u_{0}}f(u)=l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9bab596ab394240175dc7bb2c3a1fb27b90968)
- Constantin Ionescu-Țiu, Liviu Pârșan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Editura Albatros, București, 1975