Plan de la infinit

În geometria proiectivă, un plan de la infinit este hiperplanul de la infinit al unui spațiu proiectiv^⁠(d) tridimensional sau la orice plan conținut într-un hiperplan, aflat la infinitul oricărui spațiu proiectiv de dimensiuni superioare. Acest articol se va referi exclusiv la cazul tridimensional.

Definiție

Există două abordări pentru definirea planului de la infinit care depind de faptul dacă se pornește de la un 3-spațiu proiectiv sau de la un 3-spațiu afin.

Dacă se dă un 3-spațiu proiectiv, planul de la infinit este orice plan proiectiv^⁠(d) distinct al spațiului. Acest punct de vedere subliniază faptul că acest plan nu este diferit geometric de orice alt plan. Pe de altă parte, având în vedere un 3-spațiu afin, planul de la infinit este un plan proiectiv care se adaugă la 3-spațiul afin pentru a-i da închiderea proprietății de Incidență^⁠(d). Adică punctele planului de la infinit sunt punctele în care se vor întâlni liniile paralele ale 3-spațiului afin, iar dreptele sunt dreptele în care 3-planele paralele ale 3-spațiului afin se vor intersecta. Rezultatul adăugării este 3-spațiul proiectiv, $P^{3}$. Acest punct de vedere subliniază structura internă a planului de la infinit, dar îl face să pară „special” în comparație cu celelalte plane ale spațiului.

Dacă 3-spațiul afin este real, $\mathbb {R} ^{3}$, atunci adăugarea planului proiectiv real^⁠(d) $\mathbb {R} P^{2}$ la infinit produce 3-spațiul proiectiv real $\mathbb {R} P^{3}$.

Reprezentarea analitică

Deoarece oricare două planuri proiective dintr-un 3-spațiu proiectiv sunt echivalente, se poate alege un sistem de coordonate omogene astfel încât orice punct din planul de la infinit să fie reprezentat ca (X:Y:Z:0). Orice punct din 3-spațiul afin va fi apoi reprezentat ca (X:Y:Z:1). Punctele din planul de la infinit par să aibă trei grade de libertate, dar coordonatele omogene sunt echivalente la orice redimensionare:

$(X:Y:Z:0)\equiv (aX:aY:aZ:0)$,

astfel încât coordonatele (X:Y:Z:0) pot fi normalizate, reducând astfel gradele de libertate la două (deci o suprafață, și anume, un plan proiectiv).

Enunț: Orice dreaptă care trece prin origine (0:0:0:1) și prin punctul (X:Y:Z:1) va intersecta planul de la infinit în punctul (X:Y:Z:0).

Demonstrație: Dreapta care trece prin punctele (0:0:0:1) și (X:Y:Z:1) va consta din punctele ale căror coordonate sunt o combinație liniară a coordonatelor celor două puncte date:

$a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).$

Ca un asemenea punct să se afle în planul de la infinit este necesar ca $a+b=0$. Deci, alegând $a=-b$ se obține punctul $(bX:bY:bZ:0)=(X:Y:Z:0).$ (Q.E.D.)

Orice pereche de drepte paralele în 3-spații se vor intersecta într-un punct al planului de la infinit. De asemenea, fiecare dreaptă din 3-spații intersectează planul de la infinit într-un punct unic. Acest punct este determinat de direcția (panta) — și numai de direcția — dreptei. Pentru a determina acest punct, dacă dreapta nu trece deja prin origine se ia în considerare o dreaptă paralelă cu dreapta dată, dar care trece prin origine. Apoi se alege pe această a doua dreaptă un punct oarecare, altul decât originea. Dacă coordonatele omogene ale acestui punct sunt (X:Y:Z:1), atunci coordonatele omogene ale punctului de la infinit prin care trec prima și a doua dreaptă sunt (X:Y:Z: 0).

Exemplu: Fie o dreaptă care trece prin punctele (0:0:1:1) și (3:0:1:1). O dreaptă paralelă trece prin punctele (0:0:0:1) și (3:0:0:1). Această a doua dreaptă intersectează planul de la infinit în punctul (3:0:0:0). Dar și prima dreaptă trece prin acest punct:

$\lambda (3:0:1:1)+\mu (0:0:1:1)$

$=(3\lambda :0:\lambda +\mu :\lambda +\mu )$

$=(3:0:0:0)$

când $\lambda +\mu =0$. (Q.E.D.)

Orice pereche de plane paralele din 3-spațiul afin se vor intersecta într-o dreaptă proiectivă (o dreaptă de la infinit) în planul de la infinit. De asemenea, fiecare plan din 3-spațiul afin intersectează planul de la infinit într-o dreaptă unică. Această dreaptă este determinată de direcția —și doar de direcția — planului.

Proprietăți

Deoarece planul de la infinit este un plan proiectiv, acesta este homeomorf^⁠(d) cu suprafața unei sfere în care punctele antipodale sunt echivalente: S²/{1,−1}.

Bibliografie

• en Bumcrot, Robert J. (1969), Modern Projective Geometry, Holt, Rinehart and Winston 
• en Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9 
• en Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• en Samuel, Pierre (1988), Projective Geometry, UTM Readings in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4 
• en Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover 
• en Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day