Fie
un spațiu metric complet. Aplicația
este o contracție a lui S dacă există
, numit coeficient de contracție, astfel încât:
![{\displaystyle d(f(x),f(y))\leq qd(x,y)(\forall )x,y\in S\ (1.1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4d42faad0214a3d7d30fee2eec092fda9d757f)
Punctul
se numește punct fix al aplicației
dacă avem:
Fie
fixat și fie șirul de puncte
din S definit succesiv prin:
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a_{1}=f(a_{0})\\a_{2}=f(a_{1})\\...................\\a_{n}=f(a_{n-1})\end{array}}\right.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38045fa399f64b2bda04b99a985665848ce77782)
Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul
definit prin (1.3) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S, avem succesiv:
![{\displaystyle d(a_{1},a_{2})=d(f(a_{0}),f(a_{1})\leq qd(a_{0},a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e738a72d97424e5f04978840c549bca6f2cf12a)
![{\displaystyle d(a_{2},a_{3})=d(f(a_{1}),f(a_{2})\leq qd(a_{1},a_{2})\leq q^{2}d(a_{0},a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855307d331617c61293f903184cd6afe476a2eec)
![{\displaystyle d(a_{3},a_{4})=d(f(a_{2}),f(a_{3})\leq qd(a_{2},a_{3})\leq q^{3}d(a_{0},a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e9fb3cdf28ec3c8003238980bf641ab0693113)
Prin inducție se obține:
(1.4)
Pe de altă parte, pentru orice
, avem
![{\displaystyle d(a_{n},a_{n+p})\leq d(a_{n},a_{n+1}+d(a_{n+1},a_{n+2})+...d(+a_{n+p-1},a_{n+p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82a7dc812aef344b159f04e817913bd3ddd0fc4)
și folosind corespunzător inegalitatea (1.4) se obține:
![{\displaystyle d(a_{n},a_{n+p})\leq q^{n}d(a_{0},a_{1})+q^{n+1}d(a_{0},a_{1})+...+q^{n+p-1}d(a_{0},a_{1})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca6d301328326a7d9832190dfa38de98ba1c165)
![{\displaystyle =q^{n}d(a_{0},a_{1})(1+q+q^{2}+...+q^{n-1})=q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {q^{p}-1}{q-1}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42340c54fd6c97c255fd8be1be56d494401571d)
![{\displaystyle =q^{n}d(a_{0},a_{1}){\frac {1-q^{p}}{1-q}}\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(a_{0},a_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c7926a32f5900bdd9030dc5db6e54a3677bcf7)
Deci:
(1.5)
Presupunem că
. Deoarece
, ceea ce implică:
, (1.6)
astfel încât
și
și aratăm că șirul de puncte
este un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S. În acest caz notăm
;
) în S.
În acest caz notăm:
;
(
în S). Să arătăm că c este punctul fix al contracției f.
Deoarece
în S, rezultă că pentru orice
, există un rang
, astfel încât dacă
, atunci
.
Observând și inegalitatea evidentă
, datorită contracției f, se obține:
care arată că
în S și care implică :
în S. Dar avem și
în S și cum S este spațiu metric (unde limita unui șir convergent este unică rezultă egalitatea
, adică
este punct fix al contracției f.
Să arătăm acum unicitatea lui c.
Presupunem că mai există
, astfel încât
. În acest caz avem
Rezultă
, care implică
și deci
.
Am arătat că punctul fix al contracției este unic.
![{\displaystyle d(a_{2},a_{3})=d(f(a_{1}),f(a_{2}))\leq qd(a_{1},a_{2})\leq q^{2}d(a_{0},a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d329922aaaec9f214e6959bc1ee1fb7d3d7905)
G. Tătar, Calcul diferențial și integral, Ed. Economică, București, 2002.