Serie formală

În algebră, conceptul de serie formală reprezintă o generalizare a noțiunii de polinom. A apărut în lucrările lui Isaac Newton și are aplicații în analiza matematică, studiul ecuațiilor diferențiale, geometrie algebrică și în alte ramuri matematice.

Definiție

Fie $(A,+,\cdot )$ un inel integru. Se numește serie formală, într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A,$ o funcție $f:\mathbb {N} \to A.$

Fie mulțimea valorilor lui $f:\;\;Im\;f=\{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}.$ Acestei mulțimi i se asociază expresia:

a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots a_{n}T^{n}+\cdots ,

unde $T=\{0,1,0,0,\cdots ,0,\cdots \}\in A^{\mathbb {N} }$ este șirul de numere reale care are al doilea element 1, iar celelalte elemente zero. Deoarece seriei formale i se poate asocia expresia de mai sus, în loc de $f:\mathbb {N} \to A$ se mai scrie $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots a_{n}T^{n}+\cdots ,$ iar elementele $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots$ se numesc coeficienții seriei formale f.

Mulțimea seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul integru $A$ se notează $A[[T]].$

Exemple

1)

Orice polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul

A

este o serie formală:

f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]],

astfel încât există $k\in \mathbb {N}$ pentru care $a_{k}\neq 0,$ iar $a_{k+1}=a_{k+2}=\cdots =a_{k+s}=0,\;\forall s\geq 1.$ În acest caz, k se numește gradul polinomului f, iar f se mai scrie sub forma:

f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}.

Dacă $a_{k}=0,\;\forall k\in \mathbb {N} ,$ atunci gradul polinomului f se consideră a fi $-\infty .$

2)

f=1+T+T^{2}+\cdots +T^{n}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].

3)

.

f=1+{\frac {T}{3}}+{\frac {T^{2}}{9}}+{\frac {T^{3}}{27}}+\cdots +{\frac {T^{n}}{3^{n}}}+\cdots \in \mathbb {Q} [[T]].

4)

f=T^{2}-2T^{3}+3T^{4}-\cdots +(n-1)(-1)^{n}T^{n}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].

$Observa{\underset {'}{t}}ie.$ În exemplul $1$ se vede că unui polinom într-o variabilă cu coeficienți în inelul A i se asociază un număr natural bine determinat, gradul acestuia. Pentru o serie formală oarecare $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots \in A[[T]]$ nu se mai poate defini noțiunea de grad, deoarece nu se știe dacă există un număr natural $k$ astfel încât $a_{k+l}=0$ pentru $l\geq 1.$ Există însă cel mai mic număr natural $l$ pentru care $a_{l}\neq 0$ (eventual $l=0$ ).

Ordinul unei serii formale

$Defini{\underset {'}{t}}ie.$ Se numește ordinul seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots$ numărul:

ord\;f={\begin{cases}\min\{i;a_{i}\neq 0\},&daca\;f\neq 0\\\infty &daca\;f=0.\end{cases}}

Operații cu serii formale

Fie $f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots$ și $g=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots$ două serii formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul $A.$ Se definește suma și produsul lor astfel:

f+g=a_{0}+b_{0}+(a_{1}+b_{1})T+\cdots +(a_{n}+b_{n})T+\cdots

fg=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})T+\cdots +(a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0})T^{i}+\cdots

$Propozi{\underset {'}{t}}ie.$ Dacă $(A,+,\cdot )$ este un inel comutativ, atunci și $(A,[[T]],+,\cdot )$ este un inel comutativ.

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.$ "Adunarea" și "înmulțirea" seriilor formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A$ sunt asociative și comutative deoarece "adunarea" și "înmulțirea" din inelul $A$ sunt asociative și comutative.

Seria formală $0=0+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^{n}+\cdots$ este element neutru pentru adunarea seriilor formale.

Dacă $f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]],$ atunci seria formală $-f=-a_{0}+(-a_{1})T+\cdots +(-a_{n})T^{n}$ este opusa seriei formale $f$ întrucât $f+(-f)=(-f)+f=0.$ Seria formală $1=1+0\cdot T+\cdots +0\cdot T^{n}+\cdots$ este element neutru pentru înmulțirea seriilor formale.

Serii formale inversabile

$Propozi{\underset {'}{t}}ie.$ O serie formală într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A:$

f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots

este inversabilă în $A[[T]]$ dacă și numai dacă elementul $a_{0}$ este inversabil în $A.$

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.$ Se arată mai întâi că dacă seria formală $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots$ este inversabilă în $A[[T]],$ atunci $a_{0}$ este inversabilă în $A.$ Fie $g=b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in A[[T]]$ astfel încât $(a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots )\cdot (b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots )=1.$ Atunci $a_{0}b_{0}=1,$ deci $a_{0}$ este inversabil în $A.$

Reciproc, acum se presupune că elementul $a_{0}$ este inversabil în $A$ și se arată că seria formală $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots$ este inversabilă în $A[[T]].$ Pentru aceasta, se demonstrează că există o serie formală $g=b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in a[[T]]$ astfel încât $fg=1.$ Pentru aceasta, se arată că există elementele $b_{0},b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n},\cdots \in A$ astfel încât:

a_{0}b_{0}=1

a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0

a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}=0.

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

Din $a_{0}b_{0}=1$ rezultă că $b_{0}=a_{0}^{-1}.$

Din $a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0$ rezultă că $b_{1}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{0}).$

Din $a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0$ rezultă că $b_{2}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{0}).$

Dacă se presupune că sunt determinați $b_{0},b_{1},\cdots ,b_{i-1},$ atunci din relația $a_{0}b_{i}+a_{1}b_{i-1}+\cdots +a_{i-1}b_{1}+a_{i}b_{0}=0$ rezultă că $b_{i}=a_{0}^{-1}(-a_{1}b_{i-1}-\cdots -a_{i-1}b_{1}-a_{i}b_{0}).$

Deci există o serie formală $g=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots$ astfel încât $fg=1.$

Exemple de serii formale inversabile

1.

Fie

f=1-X\in \mathbb {Z} [[X]].

Deoarece

(1-X)(1+X+\cdots +X^{n}+\cdots )=1,

rezultă că:

(1-X)^{-1}=1+X+X^{2}+\cdots +X^{n}+\cdots

Se observă că $1-X$ este inversabil în $\mathbb {Z} [[X]],$ dar nu este inversabil în $\mathbb {Z} [X].$

2.

Fie

f={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\in \mathbb {Q} [[T]].

Elementul ${\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$ este inversabil, deci seria formală $f$ este inversabilă în $\mathbb {Q} [[T]].$ Se determină seria formală:

f^{-1}=b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots \in \mathbb {Q} [[T]].

Se obține: $\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\right)\cdot (b_{0}+b_{1}T+\cdots +b_{n}T^{n}+\cdots )=1.$

Prin identificarea coeficienților, se obține:

	${\frac {1}{2}}b_{0}=1,$	deci $b_{0}=2$
	${\frac {1}{2}}b_{1}-{\frac {1}{2}}b_{0}={\frac {1}{2}}b_{1}-1=0,$	deci $b_{1}=2$
	${\frac {1}{2}}b_{2}-{\frac {1}{2}}b_{1}+{\frac {1}{2}}b_{0}={\frac {1}{2}}b_{2}-1+1={\frac {1}{2}}b_{2}=0,$	deci $b_{2}=0$
	${\frac {1}{2}}b_{3}-{\frac {1}{2}}b_{2}+{\frac {1}{2}}b_{1}={\frac {1}{2}}b_{3}+1=0,$	deci $b_{3}=-2$
	${\frac {1}{2}}b_{4}-{\frac {1}{2}}b_{3}+{\frac {1}{2}}b_{2}={\frac {1}{2}}b_{4}+1=0,$	deci $b_{4}=-2$
	${\frac {1}{2}}b_{5}-{\frac {1}{2}}b_{4}+{\frac {1}{2}}b_{3}={\frac {1}{2}}b_{5}+1-1={\frac {1}{2}}b_{5}=0,$	deci $b_{5}=0$
	${\frac {1}{2}}b_{6}-{\frac {1}{2}}b_{5}+{\frac {1}{2}}b_{4}={\frac {1}{2}}b_{6}-1=0,$	deci $b_{6}=2.$

Deci coeficienții se repetă. Prin urmare:

\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}T+{\frac {1}{2}}T^{2}\right)^{-1}=

$=2+2T-2T^{3}-2T^{4}+\cdots -2T^{6k-2}+2T^{6k}+2T^{6k+1}-2T^{6k+3}-2T^{6k+4}+\cdots$

Aplicații

Fie $f=1+T+T^{2}+\cdots \in \mathbb {Z} [[T]]$ și $g=(1+T)(1+T^{2})(1+T^{4})\cdots \in \mathbb {Z} [[T]].$ Se arată că $f=g.$ Există relațiile:

(1-T)f=(1-T)(1+T+T^{2}+\cdots )=1

(1-T)g=(1-T)(1+T)(1+T^{2})(1+T^{4})\cdot \cdots =(1-T^{2})(1+T^{2})(1+T^{4})\cdot \cdots =

=(1-T^{4})(1+T^{4})\cdot \cdots =(1_{T}^{2k})(1+T^{2k})(1+T^{2k+1})\cdot \cdots

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots =1

(deoarece toți coeficienții puterilor lui

T_{i}

sunt nuli).

Prin urmare $(1-T)f=(1-T)g.$ Rezultă:

(1-T)^{-1}(1-T)f=(1-T)^{-1}(1-T)g,

de unde

f=g.

Se vor defini cu ajutorul seriilor formale unele funcții elementare care sunt utilizate frecvent. Pentru a demonstra unele proprietăți ale acestor funcții, se va utiliza noțiunea de derivată a unei serii formale.

$Defini{\underset {'}{t}}ie.$ Se numește derivata seriei formale într-o variabilă cu coeficienți în inelul comutativ $A:$

f=a_{0}+a_{1}T+\cdots +a_{n}T^{n}+\cdots

seria formală:

f^{\prime }=a_{1}+2a_{2}T+\cdot +na_{n}T^{n-1}+\cdots

Derivata unei serii formale $f$ se mai notează $df$ sau $df/dT.$

Se remarcă faptul că dacă $f$ este o serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali, atunci $df$ este derivata obișnuită a funcției $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots$

$Observa{\underset {'}{t}}ie.\;\;df=0\;\Leftrightarrow \;ord\;f=0.$

Funcțiile trigonometrice formale

$Defini{\underset {'}{t}}ie.$ Se numește funcția sinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

\sin T=T-{\frac {T^{3}}{3!}}+{\frac {T^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {T^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots

Se numește funcția cosinus formal următoarea serie formală într-o variabilă cu coeficienți reali:

\sin T=1-{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {T^{2k}}{(2k)!}}+\cdots

$Teorem{\breve {a}}.$ Pentru funcțiile trigonometrice formale există relațiile:

$i)\;\sin(-x)=-\sin x,\;\cos(-x)=\cos x$

$ii)\;\sin 'x=\cos x,\;\cos 'x=-\sin x.$

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.$

$i)\;\sin(-x)=-x+{\frac {x^{3}}{3!}}-\cdots +(-1)^{k+1}+\cdots =-\sin x.$

\cos(-x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\cdots =\cos x.

$ii)\;\sin 'x=1-3{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!}}+\cdots =\cos x$

\cos 'x=-{\frac {2x}{2!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {2kx^{2k-1}}{(2k)!}}+\cdots =-\sin x.

De remarcat faptul că: $\sin 0=0,\;\cos 0=1.$

$Teorem{\breve {a}}.$ Dacă $a,x\in \mathbb {R}$ atunci :

\sin(a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x

\cos(a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.$ Se consideră seriile formale în variabila $x$ cu coeficienți reali:

F_{1}(x)=\sin(a+x)-\sin a\cdot \cos x-\cos a\cdot \sin x

F_{2}(x)=\cos(a+x)-\cos a\cdot \cos x+\sin a\cdot \sin x

F(x)=F_{1}^{2}(x)=F_{1}^{2}(x)+F_{2}^{2}(x).

Se remarcă faptul că: $F_{1}(0)=F_{2}(0)=0.$ De asemenea:

F'_{1}(x)=\cos(a+x)+\sin a\cdot \sin x-\cos a\cdot \cos x=F_{2}(x)

F'_{2}(x)=-\sin(a+x)+\cos a\cdot \sin x+\sin a\cdot \cos x=-F_{1}(x).

Derivând și seria formală $F(x)$ se obține:

F'(x)=2F_{1}(x)F'_{1}(x)+2F_{2}(x)F'_{2}(x)=2F_{1}(x)F_{2}(x)-2F_{2}(x)F_{1}(x)=0.

Dacă $F(x)$ are ordinul zero, adică $F(x)=c,\;c\in \mathbb {R} .$ Însă $F(0)=0,$ prin urmare $F(x)=0.$ De aici rezultă și $F_{1}(x)=F_{2}(x)=0,$ deci:

\sin(a+x)=\sin a\cdot \cos x+\cos a\cdot \sin x

\cos(a+x)=\cos a\cdot \cos x-\sin a\cdot \sin x.

Funcția exponențială

$Defini{\underset {'}{t}}ie.$ Se numește funcție exponențială funcția $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definită prin seria formală:

\exp T=1+{\frac {T}{1!}}+\cdots +{\frac {T^{n}}{n!}}+\cdots

$Propozi{\underset {'}{t}}ie.\;(\exp x)'=\exp x,\;\forall x\in \mathbb {R} .$

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.\;(\exp x)'=1+{\frac {2x}{2!}}+\cdots +{\frac {nx^{n-1}}{n!}}+\cdots =\exp x.$

$Teorem{\breve {a}}.\;\exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y,\;\forall x,y\in \mathbb {R} .$

$Demonstra{\underset {'}{t}}ie.$

\exp x\cdot \exp y=\left(1+{\frac {x}{1!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots \right)\cdot \left(1+{\frac {y}{1!}}+\cdots +{\frac {y^{n}}{n!}}+\cdots \right)=

=a_{0}+a_{1}t+\cdots +a_{n}t^{n}+\cdots ,

unde $a_{n}t^{n}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {x^{p}y^{n-p}}{p!(n-p)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{p=0}^{n}{\frac {n!}{p!(n-p)!}}x^{p}y^{n-p}={\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}.$