Sistem duodecimal

Sistem de numerație
Unar	1
Binar	2
Ternar	3
Cuaternar	4
Cvinariu	5
Senar	6
Octal	8
Zecimal	10
Duodecimal	12
Hexazecimal	16
Vigesimal	20
Hexatrigesimal	36
Sexagesimal	60

Sistemul duodecimal este un sistem de numerație pozițional în baza 12.^[1]

Cu alte cuvinte, în acest sistem, numărăm în duzine și nu în zeci. Prin urmare, numărul doisprezece este scris 10, reprezentând o duzină și nici o unitate, în timp ce în baza 10, doisprezece ar fi scris 12 (pentru zece și două unități). Scrierea lui 12 într-un sistem duodecimal înseamnă, prin urmare, scrierea unei duzini și două unități, sau 14 în baza 10.

Acest sistem are unele avantaje față de sistemul zecimal dominant care funcționează în baza 10, prin faptul că vă permite să împărțiți la 2, 3, 4 și 6 (în loc de 2 și 5 pentru sistemul în baza 10). Numărul doisprezece este cel mai mic număr cu patru factori care nu sunt banali (2, 3, 4, 6), ceea ce face ca sistemul în baza 12 să fie mai plăcut și mai ușor de utilizat pentru calcule precum înmulțirea sau împărțirea.^[2]

Într-un sistem duodecimal, doisprezece este scris ca 10, dar există numeroase propuneri pentru scrierea lui zece și a lui unsprezece.^[3]

Exemple de folosire a bazei 12 - sunt cele douăsprezece luni ale anului, cele douăsprezece ore ale unui ceas (împărțirea nopții și a zilei în douăsprezece ore din Egiptul antic),^[4], cele douăsprezece semne ale zodiacului. Este încă folosit în comerț (duzină, jumătate de duzină, un gros etc.)

O cifră duodecimală conține o cantitate de informație de $\log _{2}12\approx 3,585$ bit.

Notații

Sistemul do-gro-mo

În acest sistem, se adaugă prefixul e- pentru fracții.


Duodecimal	Not.	Zecimal
0,001	emo	0,000578704
0,01	egro	0,006944444
0,1	edo	0,083333333
1	un	1
10	do	12
100	gro	144
1000	mo	1728

Exemple de notații

12₁₂ = 14₁₀ (adică 1×12 + 2)
26₁₂ = 30₁₀ (2×12 + 6)
30₁₂ = 36₁₀ = 100₆ (3×12)
50₁₂ = 60₁₀ (5×12)
69₁₂ = 81₁₀ (6×12 + 9)
76₁₂ = 90₁₀ (7×12 + 6)
85₁₂ = 101₁₀ (8×12 + 5)
100₁₂ = 144₁₀ (1×12²)
160₁₂ = 216₁₀ = 1000₆ (1×12² + 6×12¹)
1A6₁₂ = 270₁₀ (1×12² + 10×12¹ + 6)
265₁₂ = 365₁₀ (2×12² + 6×12¹ + 5)
294₁₂ = 400₁₀ = 100₂₀ (2×12² + 9×12¹ + 4)
400₁₂ = 576₁₀ (4×12²)
576₁₂ = 810₁₀ (5×12² + 7×12¹ + 6)
6B4₁₂ = 1000₁₀ (6×12² + 11×12¹ + 4)
900₁₂ = 1296₁₀ = 10000₆ (9×12²)
1000₁₂ = 1728₁₀ (1×12³)
11A8₁₂ = 2000₁₀ (1×12³ + 1×12² + 10×12¹ + 8)
2454₁₂ = 4096₁₀ = 1000₁₆ (2×12³ + 4×12² + 5×12¹ + 4)
3969₁₂ = 6561₁₀ = 10000₉ (3×12³ + 9×12² + 6×12¹ + 9)
4600₁₂ = 7776₁₀ = 100000₆ (4×12³ + 6×12²)
4768₁₂ = 8000₁₀ = 1000₂₀ (4×12³ + 7×12² + 6×12¹ + 8)
5000₁₂ = 8640₁₀ (5×12³)
789A₁₂ = 13366₁₀ (7×12³ + 8×12² + 9×12¹ + 10)
10000₁₂ = 20736₁₀ (1×12⁴)
23000₁₂ = 46656₁₀ = 1000000₆ (2×12⁴ + 3×12³)

Exemple de operații aritmetice
Senar	Zecimal	Duodecimal	Vigesimal
140 + 50 = 230	60 + 30 = 90	50 + 26 = 76	30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213	810 - 81 = 729	576 - 69 = 509	20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552	2000 - 60 = 1940	11A8 - 50 = 1158	500 - 30 = 4H0
1130 × 52 = 104000	270 × 32 = 8640	1A6 × 28 = 5000	DA × 1C = 11C0
2400 ÷ 13 = 144	576 ÷ 9 = 64	400 ÷ 9 = 54	18G ÷ 9 = 34
3430 ÷ 13 = 230	810 ÷ 9 = 90	576 ÷ 9 = 76	20A ÷ 9 = 4A
2²⁰ = 30544	2¹² = 4096	2¹⁰ = 2454	2^C = A4G

Puteri

Senar: 10 = 2×3
Zecimal: 10 = 2×5
Duodecimal: 10 = 4×3 = 2²×3
Vigesimal: 10 = 4×5 = 2²×5

Puterile lui doisprezece prin notație duodecimală
Exponent	Duodecimal	Echivalent în senar	Echivalent în zecimal	Echivalent în vigesimal
1	o duzină: 10	20	12	C
2	un gros:^[5]^[6] 100	20² = 400	12² = 144	C² = 74
3	un gros mare:^[7] 1.000	20³ = 12 000	12³ = 1 728	C³ = 468
4	o duzină de groși mari: 10.000	20⁴ = 240 000	12⁴ = 20 736	C⁴ = 2 BGG
5	100.000	20⁵ = 5.200 000	12⁵ = 248 832	C⁵ = 1B 21C
6	1.000.000	20¹⁰ = 144 000 000	12⁶ = 2.985 984	C⁶ = ID 4J4
7	10 000 000	20¹¹ = 3 320 000 000	12⁷ = 35 831 808	C⁷ = B3I JA8
8	100 000 000	20¹² = 110 400 000 000	12⁸ = 429 981 696	C⁸ = 6 E77 E4G
9	1 000 000 000	20¹³ = 2 212 000 000 000	12⁹ = 5 159 780 352	C⁹ = 40 C8C AHC
A	10 000 000 000	20¹⁴ = 44 2400 0000 0000	12¹⁰ = 61 917 364 224	C^A = 287 93A AB4
B	100 000 000 000	20¹⁵ = 1325 2000 0000 0000	12¹¹ = 743 008 370 688	C^B = 1 909 A26 6E8
10	1 000 000 000 000	20²⁰ = 30 544 000 000 000 000	12¹² = 8 916 100 448 256	C^C = H 85E 17G 0CG
-1	0,1	0,03	1/12	1/C
-2	0,01	0,0013	1/144	1/74
-3	0,001	0,000043	1/1728	1/468

Note

^ „duodecimal” la DEX online
^ Mică enciclopedie matematică, București: Editura Tehnică, 1980, p. 16
^ De Vlieger, Michael (2010). "Symbology Overview" (PDF). The Duodecimal Bulletin. 4X [58] (2).
^ Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, 1998, p. 16.
^ măsură folosită în comerț pentru mărfuri sub formă de obiecte mici de același fel, egală cu 12 duzini, adică 144 de bucăți. – Din germ. Gros.
^ se mai numește: o duzină mare sau un gros mic [1]
^ sau un mare gros

Portal Matematică

[1] „duodecimal” la DEX online

[2] Mică enciclopedie matematică, București: Editura Tehnică, 1980, p. 16

[3] De Vlieger, Michael (2010). "Symbology Overview" (PDF). The Duodecimal Bulletin. 4X [58] (2).

[4] Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, 1998, p. 16.

[5] ăsură folosită în comerț pentru mărfuri sub formă de obiecte mici de același fel, egală cu 12 duzini, adică 144 de bucăți. – Din germ. Gros.

[6] se mai numește: o duzină mare sau un gros mic [1]

[7] sau un mare gros

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]