În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.
Fie
și
două șiruri de numere reale, astfel încât
este strict crescător și
Dacă există
atunci există și
și
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ca5e8c176b4c21879491b84f96d8f248259ad8)
Fie (xn) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I1 = [ a1, b1 ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I1 în două părți: [ a1, (a1 + b1) / 2 ] și [ (a1 + b1) / 2, b1 ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (an). Notăm acest interval I2 = [ a2, b2 ]. Evident, avem a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 și b2 - a2 = (b1 - a1) / 2. Împărțim intervalul I2 în două părți, astfel: [ a2, (a2 + b2) / 2 ] și [ (a2 + b2) / 2, b2 ]. Notăm cu I3 = [ a3, b3 ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (an). Se obține astfel: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 și b3 - a3 = (b1 - a1) / 4.
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale In = [ an, bn ], n ≥ 1, astfel încât:
- a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ... ≤ bn+1 ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 și bn - an = (b1 - a1) / 2n, n ≥ 1.
Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (an) și (bn) sunt convergente și
.
Deoarece în fiecare interval I1, I2, ..., In, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (an), alegem câte un termen din fiecare interval:
- a n1 din I1, a n2 din I2, ..., a nk din Ik, unde n1 < n2 < ... < nk < ....
Rezultă că ap ≤ anp ≤ bp, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui:
. Așadar, subșirul (anp) este convergent.
Să se determine: ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddf35d7c027aae37236e507cce2bfc1e5146eb5)
Rezolvare.
Notăm:
și
Avem:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ca5e8c176b4c21879491b84f96d8f248259ad8)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}-\ldots -{\frac {1}{n}}}{n+1-n}}\Rightarrow \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e19abe252a1c8c42fbd1d61f8322c29cf044a6)
![{\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n+1}}{1}}\Rightarrow \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac62af45b1fa6f35fbd898bc94f2254a6435a16)
![{\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}=0.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3e9d6b88b0da7691678e64dc7cb2116fc595b9)
Să se determine ![{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}{n^{k+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e68bbe70e1450c48e7385116a0931cf8534f614)
Se consideră
și
Se ține seama că:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}}={\frac {1}{k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ae591a6cc048c8d44c8ae6c991b0d53ed0c558)
unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.
Așadar,
Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești.