Condiția lanțului ascendent

În matematică condiția lanțului ascendent (în engleză ascending chain condition – ACC) și condiția lanțului descendent (în engleză descending chain condition – DCC) sunt proprietăți privind caracterul finit ale unor structuri algebrice, cea mai mare importanță având-o pentru idealele din anumite inele comutative. Aceste condiții au jucat un rol important în dezvoltarea teoriei structurii inelelor comutative în lucrările lui David Hilbert, Emmy Noether și Emil Artin.

Condițiile în sine pot fi enunțate într-o formă abstractă, astfel încât să fie valabile pentru orice mulțime parțial ordonată^⁠(d). Acest punct de vedere este util în teoria dimensiunilor algebrice abstracte datorită lui Gabriel și Rentschler.

Definiție

Se spune că o mulțime parțial ordonată P satisface condiția lanțului ascendent (ACC) dacă nu există un șir infinit strict ascendent de elemente din P:

$a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots$

Echivalent, orce șir slab ascendent

$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,$

de elemente din P se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar, ceea ce înseamnă că există un număr întreg pozitiv n astfel încât

$a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .$

Similar, se spune că P satisface condiția lanțului descendent (DCC) dacă nu există un șir infinit descendent de elemente din P. Echivalent, orice șir slab descendent de elemente din P

$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots$

se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar.

Comentarii

• Admițând axioma alegerii dependente^⁠(d), condiția lanțului descendent pe mulțimea parțial ordonată (posibil infinită) P este echivalentă cu faptul că P este bine fondată^⁠(d): orice submulțime nevidă din P are un element minim (numit și condiția minimală). O mulțime total ordonată care este bine fondată este o mulțime bine ordonată.
• Similar, condiția lanțului ascendent este echivalentă pentru o P invers bine fondată (din nou, admițând alegerea dependentă): orice submulțime nevidă din P are un element maxim (numit și condiția maximală).
• Orice mulțime finită parțial ordonată satisface atât condiția lanțului ascendent cât și cea a lanțului descendent. Prin urmare, este atât bine formată, cât și invers bine formată.

Exemplu

Fie $\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ inelul numerelor întregi. Orice ideal al lui $\mathbb {Z}$ constă din toți multiplii unui număr $n$. De exemplu, idealul

$I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}$

este format din toți multiplii lui $6$. Fie

$J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}$

idealul format din toți multiplii lui $2$. Idealul $I$ este conținut în idealul $J$, deoarece orice multiplu al lui $6$ este și un multiplu al lui $2$. La rândul său, idealul $J$ este conținut în idealul $\{\mathbb {Z} \}$, deoarece fiecare multiplu al lui $2$ este un multiplu al lui $1$. Totuși, în acest moment nu există un ideal mai mare în $\{\mathbb {Z} \}$.

În general, dacă $I_{1},I_{2},I_{3},\dots$ sunt ideale ale $\{\mathbb {Z} \}$ astfel încât $I_{1}$ să fie conținut în $I_{2}$, $I_{2}$ este conținut în $I_{3}$ și așa mai departe, atunci există unele $n$ pentru care toate $I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$. Adică, după un moment dat, toate idealele sunt egale între ele. Prin urmare, idealele lui $\{\mathbb {Z} \}$ satisfac condiția lanțului ascendent, unde idealele sunt ordonate prin includerea mulțimii. Prin urmare, $\{\mathbb {Z} \}$ este un inel Noetherian^⁠(d).

Bibliografie

• Mihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02
• en Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9 
• en Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0 
• en Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer. ISBN 1-55608-010-7. 
• en Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967), A first course in abstract algebra (ed. 5th), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3 
• en Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra I, Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 

Legături externe

• en „Is the equivalence of the ascending chain condition and the maximum condition equivalent to the axiom of dependent choice?”.