Relație de ordine totală

O relație de ordine totală, numită și ordine liniară, este o relație de ordine având proprietatea suplimentară că orice două elemente sunt comparabile.

Definiție formală

O relație binară $\leq \subseteq A\times A$ pe o mulțime A este numită ordine totală dacă îndeplinește simultan condițiile:

1. $\forall x,y\in A$, dacă $x\leq y$ și $y\leq x$, atunci $x=y$ (antisimetrie)
2. $\forall x,y,z\in A$, dacă $x\leq y$ și $y\leq z$, atunci $x\leq z$ (tranzitivitate)
3. $\forall x,y\in A$, are loc $x\leq y$ sau $y\leq x$, (relația este totală)

De notat că, aplicând condiția 3 pentru x=y, rezultă $\forall x\in A,\,x\leq x$ (reflexivitatea).

Exemple notabile

• Relația obișnuită de ordine între numerele naturale este o relație de ordine totală (mai mult, este bună ordonare). Tipul acestei relații se notează cu ω. (Două relații se spune că au același tip dacă sunt izomorfe.)
• Relația obișnuită de ordine între numerele întregi.
• Relația obișnuită de ordine între numerele întregi negative. Tipul acesteia se notează cu $\omega ^{*}$
• Relația de ordine între numerele raționale. Aceasta este o ordine densă, în sensul că între oricare două numere raționale distincte există un număr rațional distinct față de acestea. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează η.
• Relația de ordine între numerele reale. Aceasta este o ordine continuă, în sensul că, dacă A și B sunt două mulțimi de numere reale, având proprietatea că $\forall a\in A,\forall b\in B,a\leq b$, atunci există un număr real c cu proprietatea că $\forall a\in A,\forall b\in B,a\leq c\leq b$. Tipul de ordine al mulțimii numerelor reale se notează λ.

În schimb, următoarele relații de ordine nu sunt totale:

• relația de incluziune între mulțimi
• relația de divizibilitate între numerele naturale

Bibliografie

Kazimierz Kuratowski, Introducere în teoria mulțimilor și în topologie. Traducere, Editura Tehnică, București, 1969.