Funcție regulată

Funcțiile regulate sunt funcții reale, utile pentru teoria integrării. La această categorie aparțin funcțiile în trepte și cele continue cel puțin pe porțiuni.

Definiție pe mulțimea numerelor reale

Definiție. (Funcția în trepte) Fie $[a,b]$ un interval compact. O funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ se numește funcție în trepte dacă există mai multe puncte $a=c_{0}<c_{1}<\cdots <c_{n}=b$ astfel încât pentru orice $k=1,2,\cdots ,n$ restricția $f|_{c_{k-1},c_{k}}$ este constantă.

Definiție. (Continuitate parțială) Fie $[a,b]$ un interval compact. O funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ se numește continuă pe porțiuni dacă există mai multe puncte $a=c_{0}<c_{1}<\cdots <c_{n}=b$ astfel încât pentru orice $k=1,2,\cdots ,n$ restricția $f|_{c_{k-1},c_{k}}$ este continuă și în plus:

$f(c_{k-1}^{+})=\lim _{x\downarrow c_{k-1}}f(x)$

$f(c_{k}^{-})=\lim _{x\uparrow c_{k}}f(x)$

Definiție. (Funcție regulată) Fie un interval $I\subset \mathbb {R}$ cu punctul inițial $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ și punctul final $b\in {\overline {\mathbb {R} }}.$

O funcție $f:I\to \mathbb {R}$ se numește funcție regulată dacă sunt valabile următoarele:

1. Pentru orice punct interior $x\in (a,b)$ există în $\mathbb {R}$ o limită la stânga $f(x^{+})$ și una la dreapta $f(x^{-}).$
2. Dacă punctul inițial $a\in I$, atunci există și limita la drepta $f(a^{+})\in \mathbb {R} .$
3. Dacă punctul final $b\in I$, atunci există și limita la stânga $f(a^{-})\in \mathbb {R} .$

Mulțimea funcțiilor regulate pe I se notează ${\mathcal {R}}(I)={\mathcal {R}}(I,\mathbb {R} ).$

Funcții regulate în spații afine

Fie $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ o mulțime algebrică afină, $W\subseteq V$ o submulțime deschisă și o funcție $f:W\to K.$ Spunem că f este regulată în punctul $P\in W$ dacă există o vecinătate deschisă U a lui P în W și două polinoame $g,h\in K\left[X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}\right]$, astfel încât h nu se anulează pe U și:

$f_{|U}={\frac {g}{h}}.$

Spunem că f este regulată pe W dacă este regulată în orice punct al mulțimii W.

Legături externe

• de Universität des Saarlandes: "Regelfunktionen"