Restricție (matematică)

În matematică o restricție a unei funcții $f$ este o funcție nouă, notată $f\vert _{A}$ sau $f{\upharpoonright _{A}}$ , obținută prin alegerea unui domeniu de definiție mai mic, A, din cel al funcției $f$ .

Definiția formală

Fie $f:E\to F$ o funcție pe mulțimea $E$ cu valori în mulțimea $F$ . Dacă mulțimea $A$ este o submulțime a mulțimii $E$ , atunci restricția lui $f$ la $A$ este funcția^[1]

{f|}_{A}\colon A\to F

dată de f|_A(x) = f(x) pentru x din A. Informal, restricția lui $f$ la $A$ este aceeași funcție $f$ , dar este definită numai pe $A\cap \operatorname {dom} f$ .

Dacă funcția $f$ este înțeleasă ca o relație^⁠(d) $(x,f(x))$ pe produsul cartezian $E\times F$ , atunci restricția lui $f$ la $A$ poate fi reprezentată de graficul său $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}=G(f)\cap (A\times F)$ , unde perechile $(x,f(x))$ sunt perechi ordonate în graficul $G$ .

Exemple

Restricția unei funcții neinjective $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ la domeniul $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ este injecția $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ .
Funcția factorial este restricția funcției gamma la întregii pozitivi, cu argumentul micșorat cu 1: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Proprietăți ale restricțiilor

Restricția unei funcții $f:X\rightarrow Y$ la întregul său domeniu $X$ este funcția inițială, adică $f|_{X}=f$ .
Restricționarea de două ori este aceeași cu restricționarea o singură dată, adică dacă $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ , atunci $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
Restricționarea funcției identitate pe mulțimea X la o submulțime A din X este tocmai funcția de incluziune din A în X.^[2]
Restricția unei funcții continue este continuă.^[3]^[4]

Aplicații

Funcții inverse

Articol principal: Funcție inversă

Pentru ca o funcție să aibă inversă, aceasta trebuie să fie injectivă. Dacă o funcție $f$ nu este injectivă, poate fi posibil să se definească o inversă parțială a lui $f$ prin restricționarea domeniului. De exemplu, funcția

f(x)=x^{2}

definită pe tot $\mathbb {R}$ nu este una injectivă deoarece x² = (−x)² pentru orice x din $\mathbb {R}$ . Totuși, funcția devine injectivă dacă se restricționează la domeniul $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ , (v. imaginea de sus) în care caz

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(Dacă se restricționează la domeniul $(-\infty ,0]$ , atunci inversa este minus rădăcinia pătrată a lui $y$ .) Alternativ, nu este nevoie de restricționarea domeniului dacă se permite ca inversa să fie o funcție multiformă^⁠(d).

Fascicule

Fasciculele^⁠(d) oferă o modalitate de generalizare a restricțiilor obiectelor în afară de funcții.

În teoria fasciculelor se atribuie un obiect $F(U)$ dintr-o categorie fiecărei mulțimi deschise $U$ dintr-un spațiu topologic și se cere ca obiectele să îndeplinească anumite condiții. Cea mai importantă condiție este existența restricțiilor de morfisme între fiecare pereche de obiecte asociate mulțimilor deschise imbricate; adică dacă $V\subseteq U$ , atunci există un morfism res_V,U : F(U) → F(V) care satisface următoarele proprietăți, care sunt concepute pentru a imita restricția unei funcții:

Pentru orice mulțime deschisă U din X, restricția de morfism res_U,U : F(U) → F(U) este morfismul identic pe F(U).
Dacă există trei mulțimi deschise $W \subseteq V \subseteq U$ , atunci compunerea^⁠(d) $res W, V \circ res V, U = res W, U$ .
(Localizare) Dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă s,t ∈ F(U) sunt astfel încât $s | U i = t | U i$ pentru orice mulțime U_i a acoperirii, atunci s = t; și
(Lipire) dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă pentru orice i o secțiune $s i \in F (U i)$ este dată astfel încât pentru fiecare pereche U_i,U_j din mulțimile de acoperire restricțiile s_i și s_j pot forma suprapunerea: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ , atunci există o secțiune $s \in F (U)$ astfel încât $s | U i = s i$ pentru orice i.

Colecția tuturor acestor obiecte se numește fascicul. Dacă numai primele două proprietăți sunt satisfăcute, este un prefascicul.

Restricții la stânga și la dreapta

Mai general, restricția (sau restricția domeniului sau restricția la stânga) $A ◁ R$ a unei relații binare $R$ între $E$ și $F$ poate fi definită ca o relație având domeniul $A$ , codomeniul $F$ și graficul $G(A ◁ R) = {(x, y) \in G(R) | x \in A}$ . Similar, se poate defini restricția la dreapta sau restricția codomeniului $R ▷ B$ . Într-adevăr, s-ar putea defini o restricție la relații $n$ -are, precum și la submulțimi înțelese ca relații, cum ar fi cele ale $E \times F$ pentru relații binare.

Antirestricții

Antirestricția domeniului (sau scăderea domeniului) unei funcții sau relații binare $R$ (cu domeniul $E$ și codomeniul $F$ ) cu mulțimea $A$ poate fi definită ca $(E \ A) ◁ R$ ; ea înlătură toate elementele lui $A$ din domeniul $E$ . Uneori este notată $A$ ⩤ $R$ .^[5] Similar, antirestricția codomeniului (sau scăderea codomeniului) unei funcții sau relații binare $R$ cu mulțimea $B$ este definită drept $R ▷ (F \ B)$ ; ea înlătură toate elementele lui $B$ din codomeniul $F$ . Uneori este notată $R$ ⩥ $B$ .^[5]

Note

^ en Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.
^ en Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN: 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN: 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
^ en Munkres, James R. (2000). Topology (ed. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ en Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
^ ^a ^b en Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

Portal Matematică

[Stoll-1] Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN: 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN: 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

[3] Munkres, James R. (2000). Topology (ed. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[DS-5] Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]