Inegalitatea lui Minkowski

În analiza matematică, inegalitatea lui Minkowski reprezintă o generalizare a inegalității triunghiului și sugerează faptul că spațiile L^p sunt spații vectoriale normate.

Poartă numele matematicianului Hermann Minkowski.

Enunț

Propoziție. Fie $a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,\;1\leq i\leq n$ și $p>0.$ Atunci:

\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}

(1)

dacă $1\leq p\leq \infty$

sau:

\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}

(2)

dacă $0<p<1$ și $a_{i},b_{i}>0\;(1\leq i\leq n).$

Demonstrație

1) Fie $1\leq p<\infty .$ Cazul când $p=1$ sau $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}=0$ fiind evident, se presupune $p>1$ și $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\neq 0.$ Rezultă:

|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq |a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}.

(3)

Însumând după $i$ și folosind inegalitatea lui Hölder pentru $q={\frac {p}{p-1}},$ se obține succesiv:

\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \sum _{i=1}^{n}|a_{i}||a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}\leq

\leq \left(\sum _{i=1}^{p}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}.

Se simplifică prin $\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}$ și se ține seama că $(p-1)q=p,$ de unde rezultă:

\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-{\frac {1}{q}}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.

(4)

Înlocuind $1-{\frac {1}{q}}$ prin ${\frac {1}{p}},$ se obține egalitatea de demonstrat.

2) Fie $0<p<1.$ Deoarece $a_{i}>0,\;b_{i}>0,\;(\forall )i={\overline {1,n}},$ inegalitatea (3) devine egalitate și raționamentul se continuă în mod similar.