Pavare apeirogonală de ordinul 3
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
Pavare apeirogonala de ordinul 3 | |
![]() | |
Pe modelul discului Poincaré al planului hiperbolic | |
Descriere | |
---|---|
Tip | pavare uniformă hiperbolică |
Configurația vârfului | ∞3 |
Configurația feței | V3∞ |
Simbol Wythoff | 3 | ∞ 2 2 ∞ | ∞ ∞ ∞ ∞ | |
Simbol Schläfli | {∞,3} t{∞,∞} t(∞,∞,∞) |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grup de simetrie | [∞,3], (*∞32) [∞,∞], (*∞∞2) [(∞,∞,∞)], (*∞∞∞) |
Grup de rotație | [∞,3]+, (∞32) [∞,∞]+, (∞∞2) [(∞,∞,∞)]+, (∞∞∞) |
Poliedru dual | pavare triunghiulară de ordin infinit |
Proprietăți | tranzitivă pe vârfuri, laturi și fețe |
În geometrie pavarea apeirogonală de ordinul 3 este o pavare regulată a planului hiperbolic. Este reprezentată de simbolul Schläfli {∞,3}, având trei apeirogoane în jurul fiecărui vârf. Fiecare apeirogon este înscris într-un oriciclu.
Pavarea apeirogonală de ordinul 2 reprezintă un diedru infinit în planul euclidian ca {∞,2}.
Cercul circumscris apeirogonului[modificare | modificare sursă]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Order-3_apeirogonal_tiling_one_cell_horocycle.png/220px-Order-3_apeirogonal_tiling_one_cell_horocycle.png)
Fiecare față apeirogonală este circumscrisă de un oriciclu, care arată ca un cerc în modelul discului Poincaré, tangent intern la frontiera cercului proiectiv (de la infinit).
Colorări uniforme[modificare | modificare sursă]
La fel ca la pavările planului euclidian, există 3 colorări uniforme ale pavării apeirogonale de ordinul 3, fiecare pentru domenii de reflexie diferite ale grupului triunghiului(d):
Regulată | Trunchiate | ||
---|---|---|---|
![]() {∞,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() t0,1{∞,∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() t1,2{∞,∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() t{∞[3]} ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grupului triunghiului hiperbolic | |||
![]() [∞,3] |
![]() [∞,∞] |
![]() [(∞,∞,∞)] |
Simetrie[modificare | modificare sursă]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/H2_tiling_23i-4.png/220px-H2_tiling_23i-4.png)
Dualul acestei pavări reprezintă domeniile fundamentale ale simetriei [(∞,∞,∞)] (*∞∞∞). Există 15 subgrupuri de indici mici (7 unice) construite din [(∞,∞,∞)] prin îndepărtarea planelor de oglindire și alternare. Planele de oglindire pot fi eliminate dacă ordinul ramurilor sale este par și se reduce ordinul ramurilor învecinate la jumătate. Îndepărtarea a două plane de oglindire lasă un punct de rotație de ordin pe jumătate unde planele de oglindire îndepărtate se întâlnesc. În aceste imagini domeniile fundamentale sunt colorate alternativ alb-negru, iar planele de oglindire sunt situate la limitele dintre culori. Simetria poate fi dublată ca simetrie ∞∞2 prin adăugarea unui plan de oglindire care împarte în două domeniul fundamental. Împărțirea unui domeniu fundamental de către 3 plane de oglindire creează o simetrie ∞32.
Se construiește un subgrup mai mare [(∞,∞,∞*)], de indice 8, deoarece (∞*∞∞) cu punctele de rotație eliminate devine (*∞∞).
Subgrupuri ale [(∞,∞,∞)] (*∞∞∞) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Indice(d) | 1 | 2 | 4 | |||
Diagramă | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Coxeter | [(∞,∞,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() |
[(1+,∞,∞,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,1+,∞,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,∞,1+,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(1+,∞,1+,∞,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞+,∞+,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() |
Orbifold | *∞∞∞ | *∞∞∞∞ | ∞*∞∞∞ | ∞∞∞× | ||
Diagramă | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Coxeter | [(∞,∞+,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,∞,∞+)]![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞+,∞,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,1+,∞,1+,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() |
[(1+,∞,∞,1+,∞)]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Orbifold | ∞*∞ | ∞*∞∞∞ | ||||
Subgrupuri directe | ||||||
Indice | 2 | 4 | 8 | |||
Diagramă | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Coxeter | [(∞,∞,∞)]+![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,∞+,∞)]+![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,∞,∞+)]+![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞+,∞,∞)]+![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[(∞,1+,∞,1+,∞)]+![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Orbifold | ∞∞∞ | ∞∞∞∞ | ∞∞∞∞∞∞ | |||
Subgrupuri rădăcină | ||||||
Indice | ∞ | ∞ | ||||
Diagramă | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Coxeter | [(∞,∞*,∞)] | [(∞,∞,∞*)] | [(∞*,∞,∞)] | [(∞,∞*,∞)]+ | [(∞,∞,∞*)]+ | [(∞*,∞,∞)]+ |
Orbifold | ∞*∞∞ | ∞∞ |
Poliedre și pavări înrudite[modificare | modificare sursă]
Această pavare este legată topologic ca parte a secvenței de poliedre regulate cu simbolul Schläfli {n,3}.
Variante de pavări regulate cu simetria *n62: {6,n} | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sferică | Euclidiană | Pavări hiperbolice | ||||||
![]() {6,2} |
![]() {6,3} |
![]() {6,4} |
![]() {6,5} |
![]() {6,6} |
![]() {6,7} |
![]() {6,8} |
... | ![]() {6,∞} |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,3] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetrie: [∞,3], (*∞32) | [∞,3]+ (∞32) |
[1+,∞,3] (*∞33) |
[∞,3+] (3*∞) | |||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
{∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h2{∞,3} | s{3,∞} |
Duale uniforme | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||
V∞3 | V3.∞.∞ | V(3.∞)2 | V6.6.∞ | V3∞ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞)3 | V3.3.3.3.3.∞ |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
{∞,∞} | t{∞,∞} | r{∞,∞} | 2t{∞,∞}=t{∞,∞} | 2r{∞,∞}={∞,∞} | rr{∞,∞} | tr{∞,∞} | ||||
Pavări duale | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
V∞∞ | V∞.∞.∞ | V(∞.∞)2 | V∞.∞.∞ | V∞∞ | V4.∞.4.∞ | V4.4.∞ | ||||
Alternări | ||||||||||
[1+,∞,∞] (*∞∞2) |
[∞+,∞] (∞*∞) |
[∞,1+,∞] (*∞∞∞∞) |
[∞,∞+] (∞*∞) |
[∞,∞,1+] (*∞∞2) |
[(∞,∞,2+)] (2*∞∞) |
[∞,∞]+ (2∞∞) | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |||||
h{∞,∞} | s{∞,∞} | hr{∞,∞} | s{∞,∞} | h2{∞,∞} | hrr{∞,∞} | sr{∞,∞} | ||||
Duale alternate | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |||||||
V(∞.∞)∞ | V(3.∞)3 | V(∞.4)4 | V(3.∞)3 | V∞∞ | V(4.∞.4)2 | V3.3.∞.3.∞ |
Pavări uniforme paracompacte din familia [∞,∞,∞] | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
(∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} |
(∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} |
(∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) r{∞,∞} |
t(∞,∞,∞) t{∞,∞} | ||||
Pavări duale | ||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞.∞.∞ | ||||
Alternări | ||||||||||
[(1+,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞) |
[∞+,∞,∞)] (∞*∞) |
[∞,1+,∞,∞)] (*∞∞∞∞) |
[∞,∞+,∞)] (∞*∞) |
[(∞,∞,∞,1+)] (*∞∞∞∞) |
[(∞,∞,∞+)] (∞*∞) |
[∞,∞,∞)]+ (∞∞∞) | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
Duale alternate | ||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||||
V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V3.∞.3.∞.3.∞ |
Bibliografie[modificare | modificare sursă]
- en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
- en „Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space”. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. . ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
Legături externe[modificare | modificare sursă]
Materiale media legate de pavare apeirogonală de ordinul 3 la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Hyperbolic tiling la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Poincaré hyperbolic disk la MathWorld.