Principiul Cantor-Dedekind pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a numerelor reale, fiind la baza multor teoreme fundamentale ale analizei matematice.
Mai este denumit și principiul de localizare al lui Cantor.
Este asociat cu numele matematicienilor Georg Cantor și Richard Dedekind.
Pentru orice familie numărabilă de intervale închise
cu
avem că
Din
se deduc inegalitățile:
![{\displaystyle a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots <b_{m}<\ldots <b_{2}<b_{1},\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b89ce4c03950a3c6d944592b1c8678ae62a19e)
deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista
numere naturale cu
atunci luând
s-ar obține
absurd pentru
Mulțimea
este majorată superior deci există
Avem că
Într-adevăr, în caz contrar ar exista un
cu
și în consecință există și un
cu
ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt disjuncte.
Mulțimea
este minorată inferior deci există
Urmând același raționament rezultă că
Se arată prin reducere la absurd că
Dacă
atunci există
cu
și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un
cu
fapt care conduce tot la o contradicție.
Așadar
și
sunt două numere reale cu proprietatea că
pentru orice
și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul
Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea teoremei Weierstrass-Bolzano.