În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.
Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.
O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.
Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale.
Există
cu
pentru orice
Luăm
și considerăm
Cel puțin unul din intervalele
conține o infinitate de elemente din A.
Se notează acest interval prin
Deci
și că
Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale
cu proprietățile:
a)
b)
Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul
ce apare în demonstrația principiului.
Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că
Din
pentru orice
rezultă că:
![{\displaystyle \beta -\alpha <b_{n}-a_{n}<{\frac {b-a}{2^{n}}},\;\forall n\in \mathbb {N} \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d52bc41fd3790d013fe22b29b5a2c7e0bcf39b)
și se obține:
![{\displaystyle 2^{n}(\beta -\alpha )<b-a,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbfbb61b2007fb3bea7f947ccb441a96c9c696f)
Aplicând principiul lui Arhimede pentru
și pentru
rezultă că există
cu:
![{\displaystyle b-a<n(\beta -\alpha )<2^{n}(\beta -\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ae3f1bc3b605d6013c56a882bacd1a7adfa340)
fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:
![{\displaystyle 2^{n}(\beta -\alpha )<b-a,\;\forall n\in \mathbb {N} .\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbfbb61b2007fb3bea7f947ccb441a96c9c696f)
Se notează prin
valoarea comună a lui
și
Pentru aceasta se demonstrează că
este punct de acumulare pentru mulțimea A.
Fie
o vecinătate a lui
Se demonstrează mai întâi că există
și
cu
![{\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon .\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c51572ffd53004e9fd3d66d69aa5b6588a2db30)
Dacă pentru orice n avem că
atunci obținem că
pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct.
Similar se obține existența lui
cu proprietatea menționată.
În fapt, inegalitățile:
![{\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42e56dd9064598da327749901bf341d728539ef)
rezultă imediat și din construcția lui
și
Fie în continuare
Avem inegalitățile:
![{\displaystyle x_{0}-\varepsilon <a_{n}<a_{k}<b_{k}<b_{m}<x_{0}+\varepsilon \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24748a4121ccb94fd6c3fa58af39be33eee6df92)
și deoarece intervalul
conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că
este un punct de acumulare al mulțimii.