Spațiu L^p

În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile $L p$ — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții $p$ -integrabile, iar norma, numită norma $p$ , se definește analog cu norma $p$ din $\mathbb {R} ^{n}$ .

Spațiile $L p$ , în special spațiul Hilbert $L 2$ , joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).

Spațiile $L^{p}(\Omega )$ și $L_{loc}^{p}(\Omega )$ , $(1\leq p\leq \infty )$

Fie $\Omega$ o mulțime deschisă din $\mathbb {R} ^{n}$ și $\mathbb {K}$ un corp. Notăm cu $\Sigma =\Sigma (\Omega )$ tribul borelian al părților boreliene din $\Omega$ , iar $dx$ este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din $\mathbb {R} ^{n}$ la $\Omega$ , atunci prin definiție $L^{p}(\Omega )$ este $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,dx)$ . Vom considera pe spațiul $L^{p}(\Omega )$ norma

||f||_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},

care induce metrica $d(f,g)=\left(\int |f(x)-g(x)|^{p}dx\right)^{1/p}$ și față de care $L^{p}(\Omega )$ este un spațiu complet. Prin $L_{loc}^{p}(\Omega )$ vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în $\mathbb {K}$ , care sunt p-sumabile pe orice compact din $\Omega$ . Elementele din $L_{loc}^{p}(\Omega )$ le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că $L_{loc}^{p}(\Omega )$ este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor. $L_{loc}^{p}(\Omega )$ devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme $\{s_{K}^{p}\}_{K\subset \Omega }$ , unde K parcurge compactele din $\Omega$ și

s_{K}^{p}(f)=\left(\int _{K}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},f\in L^{p}(\Omega ).

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune ${\{K_{m}\}}_{m}$ cu compacte a lui $\Omega$ , sistemul $\{s_{K_{m}}^{p}\}_{m\in \mathbb {N} }$ de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe $L_{loc}^{p}(\Omega )$ . De aici rezultă că $L_{loc}^{p}(\Omega )$ este metrizabil. Dacă $f\in L^{p}(\Omega )$ și $K$ este un compact oarecare în $\Omega$ , din relația

\int _{K}|f(x)|dx\leq \left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int _{K}1dx\right)^{1/p'},\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1\right)

rezultă că $L^{p}(\Omega )$ pentru orice $n\geq 1$ .
Punem în evidență organizarea lui $L^{1}=L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ca algebră Banach.

TEOREMA 1. Fie $f,g\in L^{1}$ . Atunci pentru orice $y\in \mathbb {R} ^{n}$ , funcția $x\rightarrow f(x)g(y-x)$ este în $L^{1}$ . Convoluția $f*g$ definită prin:

(f*g)(y)=\int f(x)g(y-x)dx\quad (1)

este de asemenea o funcție din $L^{1}$ și în plus

||f*g||_{1}\leq ||f||_{1}*||g||_{1}.\quad (2)

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire, $L^{1}$ devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă $|f(x)||g(y-x)|$ , integrala iterată

\int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dy\right)dx,\quad (3)

este evident egală cu $||f||_{1}\cdot ||g||_{1}$ . Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular $|f(x)||g(y-x)|$ este sumabilă ca funcție de $x$ , integrala sa este măsurabilă ca funcție de $y$ și are integrala finită. Rezultă că $f(x)g(y-x)$ este absolut sumabilă și

\int \left|\int f(x)g(y-x)dx\right|dy\leq \int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dx\right)dy=||f||_{1}\cdot ||g||_{1},

ceea ce înseamnă $||f*g||_{1}\leq ||f||_{1}||g||_{1}.$ Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

(f*(g*h))(x)=((h*g)*f)(x)=\int (h*g)(y)f(x-y)dy

=\int \left(\int h(z)g(y-z)dz\right)f(x-y)dy=\int \left(\int g(y-z)f(x-y)dy\right)h(z)dz

=\int \left(\int f(x-y)g(x-z-(x-y))dy\right)h(z)dz=\int (f*g)(x-z)h(z)dz

=((f*g)*h)(x).\quad (4)

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară: $x-y=u.$ Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu $f$ , cât și prin raport cu $g.$ Cu aceasta $L^{1}$ devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie $f\in L^{1}$ și $g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad (1\leq p<\infty ).$ Atunci $(f*g)(y)$ este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice $y\in \mathbb {R} ^{n}$ , $f*g\in L^{p}$ și

||f*g||_{p}\leq ||f||_{1}\cdot ||g||_{p}\quad (5).

Demonstrație. Pentru $p=1$ rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci $p>1$ și $p'$ ca de obicei conjugatul lui $p$ . Din inegalitatea lui Hölder avem:

\int |f(x)|^{1/p}|g(y-x)||f(x)|^{1/p'}dx\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)^{1/p'},

de unde, cum $|g|^{p}\in L^{1},$ cu teorema precendentă deducem că $f*g$ este definită și finită pentru orice $y\in \mathbb {R} ^{n}$ și de asemenea rezultă că

|(f*g)(y)|^{p}\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)||f||_{1}^{p/p'}.

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

||f*g||_{p}^{p}\leq ||g_{x}||_{p}^{p}\cdot ||f||_{1}||f||_{1}^{p/p'},

de unde cu $||g||_{p}=||g_{x}||_{p},$ obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile $f\mapsto f*g$ și $g\mapsto f*g$ sunt liniare și continue de la $L^{1},$ respectiv $L^{p}$ la $L^{p}$ . În acest fel cu convoluția ca operație externă, $L^{p}$ se organizează ca modul Banach peste algebra Banach $L^{1}.$