De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Parte a seriei de articole despre Mecanică clasică
F
→
=
m
a
→
{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}
În mecanica clasică ecuațiile Newton–Euler sunt ecuații diferențiale ordinare cvasiliniare vectoriale de ordinul întâi care descriu translația și rotația unui solid rigid .[1] [2] [3] [4] [5]
Tradițional, ecuațiile Newton–Euler sunt gruparea celor două legi ale mișcării lui Euler pentru un corp rigid într-o singură ecuație cu 6 componente, folosind vectori coloană și matrici . Aceste legi leagă mișcarea centrului de masă al unui corp rigid cu suma forțelor și momentelor care acționează asupra corpului rigid.
Sistemul de coordonate cu originea în centrul de masă [ modificare | modificare sursă ]
În ceea ce privește un sistem de coordonate a cărui origine coincide cu centrul de masă al corpului pentru τ (moment) și un sistem de referință inerțial pentru F (forță), ele pot fi exprimate sub formă matricială ca:
(
F
τ
)
=
(
m
I
3
0
0
I
c
m
)
(
a
c
m
α
)
+
(
0
ω
×
I
c
m
ω
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}
unde
F = rezultanta din centrul de masă
m = masa corpului
I 3 = matricea unitate 3×3
a cm = accelerația centrului de masă
v cm = viteza centrului de masă (v. mai jos)
τ = momentul rezultantei față de centrul de masă
I cm = momentul de inerție față de centrul de masă
ω = viteza unghiulară a corpului
α = accelerația unghiulară a corpului
În ceea ce privește un sistem de coordonate situat în punctul P care este atașat de corp și nu coincide cu centrul de masă, ecuațiile iau forma mai complicată:
(
F
τ
p
)
=
(
m
I
3
−
m
[
c
]
×
m
[
c
]
×
I
c
m
−
m
[
c
]
×
[
c
]
×
)
(
a
p
α
)
+
(
m
[
ω
]
×
[
ω
]
×
c
[
ω
]
×
(
I
c
m
−
m
[
c
]
×
[
c
]
×
)
ω
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}
unde c este vectorul cu componentele cx , cy , cz de la centrul de masă la P iar ω este vectorul cu componentele ωx , ωy , ωz , exprimați în sistemul de coordonate atașat de corp, iar
[
c
]
×
≡
(
0
−
c
z
c
y
c
z
0
−
c
x
−
c
y
c
x
0
)
[
ω
]
×
≡
(
0
−
ω
z
ω
y
ω
z
0
−
ω
x
−
ω
y
ω
x
0
)
{\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}
este matricea antisimetrică (d ) a produsului vectorial al matricilor.
Termenii inerțiali sunt conținuți în matricea inerția spațială :
(
m
I
3
−
m
[
c
]
×
m
[
c
]
×
I
c
m
−
m
[
c
]
×
[
c
]
×
)
,
{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}
în timp ce forțele aparente sunt conținute în termenul:[6]
(
m
[
ω
]
×
[
ω
]
×
c
[
ω
]
×
(
I
c
m
−
m
[
c
]
×
[
c
]
×
)
ω
)
.
{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}
Când centrul de masă nu coincide cu originea sistemului de coordonate (adică când c este diferit de zero), accelerațiile de translație și unghiulare (a și α ) sunt cuplate, astfel încât fiecare să fie asociat cu componentele forței și momentului.
^ en Hubert Hahn.
^ en Ahmed A. Shabana.
^ en Haruhiko Asada, Jean-Jacques E. Slotine.
^ en Robert H. Bishop.
^ en Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin.
^ en Roy Featherstone.