Icositetraedru pentagonal

Icositetraedru pentagonal
Cele două forme chirale, cw și ccw (animații cw și ccw, și model 3D)
Descriere
Tip	Poliedru Catalan
Fețe	24
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	38 = 6 + 8 + 24
χ	2
Configurația feței	V3.3.3.3.4 (pentagoane neregulate)
Simbol Conway	gC
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	O, 1/2BC3, [4,3], 432
Arie	≈ 19,300 a2   (a = latura dualului)
Volum	≈   7,447 a3   (a = latura dualului)
Unghi diedru	136° 18′ 33″
Poliedru dual	Cub snub
Proprietăți	Poliedru convex, tranzitiv pe fețe, chiral
Desfășurată

Duale: Cuburi snub, pe stânga și pe dreapta

O construcție geometrică a constantei tribonacci (AC), cu rigla și compasul, după metoda descrisă de Xerardo Neira

În geometrie un icositetraedru pentagonal este un poliedru Catalan cu 24 de fețe. Fiecare poliedru Catalan este dualul unui poliedru arhimedic. Dualul icosaedrului pentagonal este cubul snub. Este tranzitiv pe fețe.

Are două forme chirale („enantiomorfe”).

Construcție

Icositetraedrul pentagonal poate fi construit dintr-un cub snub. Pe cele șase fețe pătrate ale cubului snub se adaugă piramide pătrate, iar pe cele opt fețe triunghiulare care nu au o muchie comună cu un pătrat se adaugă piramide triunghiulare. Înălțimile piramidelor sunt alese astfel încât să fie coplanare cu celelalte 24 de fețe triunghiulare ale cubului snub. Rezultatul este icositetraedrul pentagonal.

Coordonate carteziene

Se notează cu $t\approx 1,839\,286\,755\,21$ constanta tribonacci. Atunci coordonatele carteziene pentru cele 38 de vârfuri ale icositetraedrului pentagonal centrat în origine, sunt:

• cele 12 permutări pare ale (±1, ±(2t+1), ±t²) cu un număr impar de semne minus;
• cele 12 permutări impare ale (±1, ±(2t+1), ±t²) cu un număr impar de semne minus;
• cele 6 puncte (±t³, 0, 0), (0, ±t³, 0) și (0, 0, ±t³);
• cele 8 puncte (±t², ±t², ±t²).

Geometrie

Fețele pentagonale au patru unghiuri de $\arccos((1-t)/2)\approx 114,812\,074\,477\,90^{\circ }$ și unul de $\arccos(2-t)\approx 80,751\,702\,088\,39^{\circ }$. Pentagonul are trei laturi scurte de lungime 1 și două laturi lungi de lungime $(t+1)/2\approx 1,419\,643\,377\,607\,08$. Unghiul ascuțit este situat între laturile lungi. Unghiul diedru este de $\arccos(-1/(t^{2}-2))\approx 136,309\,232\,892\,32^{\circ }$.

Dacă dualul său, cubul snub, are lungimea laturii a, suprafața și volumul icositetraedrului pentagonal sunt:

${\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}~a^{2}&&\approx 19,299\,94~a^{2}\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}~a^{3}&&\approx 7,4474~a^{3}\end{aligned}}$

Proiecții ortogonale

Icositetraedrul pentagonal are trei proiecții ortogonale particulare, două centrate pe vârfuri și una centrată pe mijlocul laturilor.

Proiecții ortogonale sub formă de cadre de sârmă

Simetrie proiectivă	[3]	[4]+	[2]
Imagini
Imagini duale

Variații

Variații izoedrice cu aceeași simetrie octaedrică chirală pot fi construite cu fețe pentagonale având 3 lungimi de muchii.

Variația prezentată poate fi construită prin adăugarea de piramide pe 6 fețe pătrate și pe 8 fețe triunghiulare ale unui cub snub astfel încât noile fețe sunt formate din 3 triunghiuri coplanare fuzionate în fețe pentagonale identice.

Cub snub augmentat cu piramide și cu fețele compuse coplanare

Icositetraedru pentagonal

Desfășurată

Poliedre și pavări înrudite

Icositetraedru pentagonal sferic

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile feței (V3.3.3.3.n). Aceste figuri există în planul hiperbolic pentru orice n. Aceste figuri tranzitive pe fețe au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru orice n.

Variante de pavări snub cu simetrie n32: 3.3.3.3.n
Simetrie n32	Sferice				Euclidiană	Hiperbolice compacte		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Imagini snub
Config.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Imagini giro
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Icositetraedru pentagonal este al doilea din seria poliedrelor și pavărilor duale snub cu configurația feței V3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie 4n2	Sferică		Euclidiană	Hiperbolice compacte				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Figuri snub
Config.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Figuri giro
Config.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Icositetraedrul pentagonal este unul dintr-o familie de duale ale poliedrelor uniforme legate de cub și octaedrul regulat.

Poliedre octaedrice uniforme
Simetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= sau	= sau	=
Dualele celor de mai sus
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Bibliografie

• en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
• en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 28, Pentagonal icositetrahedron)
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)

Legături externe

• en Pentagonal Icositetrahedron – Interactive Polyhedron Model