Sari la conținut

Trapezoedru tetragonal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Trapezoedru tetragonal
Descriere
Tiptrapezoedru
Fețe8 romboizi
Laturi (muchii)16
Vârfuri10
χ2
Configurația fețeiV4.3.3.3
Simbol Schläfli{ } ⨁ {4}[1]
Simbol ConwaydA4[2]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrieD4d, [2+,8], (2*4), ordin 16
Grup de rotațieD4, [2,4]+, (224), ordin 8
Volum≈ 3,590 a3   (a = latura mică)
Poliedru dualantiprismă pătrată
Proprietățiconvex, cu fețe romboidale, tranzitiv pe fețe


În geometrie un trapezoedru tetragonal este un romboedru (un poliedru tridimensional cu fețe în formă de romboizi) în care, în plus, toate fețele sunt congruente. Având opt fețe, este un octaedru neregulat. Este tranzitiv pe fețe.

Este al doilea dintr-o serie infinită de trapezoedre, care sunt dualele antiprismelor, fiind dualul antiprismei pătrate. Ca urmare, poate fi descris prin simbolul Conway dA4. [2]

La generarea rețelelor

[modificare | modificare sursă]

La simulări tridimensionale prin metoda elementelor finite, pornind de la forma dată a domeniului modelat este mai simplu de discretizat domeniul⁠(d) cu tetraedre, dar o rețea cu hexaedre este preferabilă. Algoritmii de transformare a rețelei obținute sunt testați cu forme standard. Forma de trapezoedru tetragonal este cea folosită,[3][4][5][6][7] simplificând un caz de testare anterior propus de matematicianul Robert Schneiders sub forma unei piramide pătrate cu frontiera sa subdivizată în 16 patrulatere. În acest context trapezoedrul tetragonal a fost numit și octaedru cubic,[5] octaedru cvadrilateral,[6] sau ax octogonal,[7] deoarece are opt fețe patrulatere și este definit în mod unic drept poliedru combinatoric prin această proprietate.[5] Adăugarea la octaedrul cubic a patru cuboizi ar da și o rețea pentru piramida lui Schneiders.[4] Ca poliedru simplu conex cu un număr par de fețe patrulatere, octaedrul cubic poate fi descompus în cuboizi topologici cu fețe curbe care se întâlnesc față la față fără a subdiviza patrulaterele care le mărginesc,[3][7][8] iar astfel se poate construi o rețea explicită de acest tip.[6] Totuși, nu este clar dacă se poate obține o descompunere de acest tip în care toți cuboizii sunt poliedre convexe cu fețe plane.[3][7]

Mărimi asociate

[modificare | modificare sursă]

Unghiul diedru al unui trapezoedru tetragonal cu toate unghiurile diedre egale este:[9]

Dacă z este latura poliedrului dual (antiprisma pătrată), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

Lungimile laturilor

[modificare | modificare sursă]

Latura scurtă, a, are lungimea:[9][10]

Latura lungă, b2, are lungimea:[9][10]

Volumul este:[9][10]

Poliedre înrudite

[modificare | modificare sursă]
Dual: antiprismă pătrată
Trapezoedru sferic

Poliedru dual

[modificare | modificare sursă]

Dualul trapezoedrului tetragonal este antiprisma pătrată.

Pavare sferică

[modificare | modificare sursă]

Trapezoedrul hexagonal există și ca pavare sferică, cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub ecuator.

Poliedre sferice diedrice hexagonale uniforme    
Simetrie: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} s{2,6}
Dualele celor de mai sus
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V3.3.3.3
Familia trapezoedrelor n-gonale
Nume trapezoedru Trapezoedru
digonal
(tetraedru)
Trapezoedru
trigonal
Trapezoedru
tetragonal
Trapezoedru
pentagonal
Trapezoedru
hexagonal
Trapezoedru
heptagonal
Trapezoedru
octogonal
Trapezoedru
decagonal
Trapezoedru
dodecagonal
... Trapezoedru
apeirogonal
Imagine ...
Pavare
sferică
Pavare
plană
Configurația
feței
V2.3.3.3 V3.3.3.3 V4.3.3.3 V5.3.3.3 V6.3.3.3 V7.3.3.3 V8.3.3.3 V10.3.3.3 V12.3.3.3 ... V∞.3.3.3

Trapezoedrul tetragonal este primul dintr-o serie de poliedre duale snub și pavări cu configurația feței V3.3.4.3.n.

Variante de pavări snub cu simetrie 4n2: 3.3.4.3.n
Simetrie
4n2
Sferică Euclidiană Hiperbolice compacte Paracomp.
242 342 442 542 642 742 842 ∞42
Figuri
snub
Config. 3.3.4.3.2 3.3.4.3.3 3.3.4.3.4 3.3.4.3.5 3.3.4.3.6 3.3.4.3.7 3.3.4.3.8 3.3.4.3.∞
Figuri
giro
Config. V3.3.4.3.2 V3.3.4.3.3 V3.3.4.3.4 V3.3.4.3.5 V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞

Un trapezoedru tetragonal apare în stânga sus ca una dintre „stelele” poliedrice în xilogravura Stele⁠(d) a lui M.C. Escher din 1948.

  1. ^ en Norman Johnson, Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
  2. ^ a b C100dA4, polyHédronisme v0.2.1, accesat 2024-04-14
  3. ^ a b c en Eppstein, David (), „Linear complexity hexahedral mesh generation”, Proceedings of the Twelfth Annual Symposium on Computational Geometry (SCG '96), New York, NY, USA: ACM, pp. 58–67, arXiv:cs/9809109Accesibil gratuit, doi:10.1145/237218.237237, MR 1677595 .
  4. ^ a b en Mitchell, S. A. (), „The all-hex geode-template for conforming a diced tetrahedral mesh to any diced hexahedral mesh”, Engineering with Computers, 15 (3): 228–235, doi:10.1007/s003660050018 .
  5. ^ a b c en Schwartz, Alexander; Ziegler, Günter M. (), „Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds”, Experimental Mathematics, 13 (4): 385–413, CiteSeerX 10.1.1.408.1550Accesibil gratuit, doi:10.1080/10586458.2004.10504548, MR 2118264 .
  6. ^ a b c en Carbonera, Carlos D.; Shepherd, Jason F.; Shepherd, Jason F. (), „A constructive approach to constrained hexahedral mesh generation”, Proceedings of the 15th International Meshing Roundtable, Berlin: Springer, pp. 435–452, doi:10.1007/978-3-540-34958-7_25 .
  7. ^ a b c d en Erickson, Jeff (), „Efficiently hex-meshing things with topology”, Proceedings of the Twenty-Ninth Annual Symposium on Computational Geometry (SoCG '13) (PDF), New York, NY, USA: ACM, pp. 37–46, doi:10.1145/2462356.2462403, arhivat din original (PDF) la , accesat în  .
  8. ^ en Mitchell, Scott A. (), „A characterization of the quadrilateral meshes of a surface which admit a compatible hexahedral mesh of the enclosed volume”, STACS 96: 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science Grenoble, France, February 22–24, 1996, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 1046, Berlin: Springer, pp. 465–476, doi:10.1007/3-540-60922-9_38, ISBN 978-3-540-60922-3, MR 1462118 .
  9. ^ a b c d en David McCooey, Tetragonal Trapezohedron, dmccooey.com, accesat 2024-04-21
  10. ^ a b c en Trapezohedron Calculator, rechneronline.de, accesat 2024-04-21

Legături externe

[modificare | modificare sursă]